[論文レビュー] Smooth solutions to the nonlinear wave equation can blow up on Cantor sets

Rowan Killip, Monica Vişan|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、共形写像とパラメトリクス法を用いて、任意に指定されたコンパクト集合（カントール型集合を含む）に正確に blow up する一様次元非線形波動方程式の C^∞ 解を構成する。主な結果は、blowup が離散的または解析的集合に限らない任意のコンパクト部分集合に発生しうることを示し、非線形波動方程式における blowup 撤去特異点の可能な構造について長年の疑問を解消することにある。

ABSTRACT

We construct $C^\infty$ solutions to the one-dimensional nonlinear wave equation $$ u_{tt} - u_{xx} - frac{2(p+2)}{p^2} |u|^p u=0 \quad ext{with} \quad p>0 $$ that blow up on any prescribed uniformly space-like $C^\infty$ hypersurface. As a corollary, we show that smooth solutions can blow up (at the first instant) on an arbitrary compact set. We also construct solutions that blow up on general space-like $C^k$ hypersurfaces, but only when $4/p$ is not an integer and $k > (3p+4)/p$.

研究の動機と目的

• 非線形波動方程式の滑らかな解が、任意に指定されたコンパクト集合に blow up しうるかどうかを特定すること。
• 従来の解析的正則性における blowup 表面の結果を、滑らか（C^∞）正則性へと拡張すること。
• ある種の正則性および非共鳴条件のもとで、任意の均一に空間的 C^k 超曲面が blowup 表面として機能しうることを示すこと。
• Alinhac が提起した、解析的場合を越えて C^∞ の blowup 表面が存在するかという問いに答えを提示すること。
• 空間全体にわたる初期データを構成し、それが所定のコンパクト集合に blowup を引き起こすようにすること。

提案手法

• blowup 超曲面 t = σ(x) を新しい座標系 (s, y) において平面的超曲面 s = 0 に写像するための共形変換が用いられる。
• 元の波動方程式は、blowup 表面の幾何を反映する共形因子 λ(s, y) を含む摂動波動方程式に変換される。
• 変換された方程式に対して、s → 0 の際に特定の漸近的 blowup 速度を満たすパラメトリクス解 v(s, y) が構成される。
• 適切な関数空間における収縮写像を用いて解の存在が示され、共形因子 λ が十分な正則性を持つことが必要となる。
• 解 u の正則性は、λ と解 v の正則性から導かれる。blowup 速度はローレンツ不変な自己相似解 (1.2) と一致する。
• レベル集合 σ(x) = T が任意の与えられたコンパクト集合 E に一致するような滑らかな関数 σ(x) が明示的に構成され、E に blowup が発生するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元非線形波動方程式の滑らかな解は、カントール型集合に blow up しうるか？
• RQ2 任意の空間のコンパクト部分集合に blow up する C^∞ 解を構成することは可能か？
• RQ3 このような解の存在に必要な十分な正則性条件は何か？
• RQ4 k > 3 + 4/p である C^k 超曲面（4/p が整数でない場合を除く）が blowup 表面として可能か？
• RQ5 この手法は、所定のコンパクト集合に blowup を引き起こす空間全体にわたる初期データへと拡張可能か？

主な発見

• 非線形波動方程式の解は、離散的または解析的集合に限らず、任意に指定されたコンパクト集合 E ⊂ ℝ に blow up しうる。
• 任意の p > 0 に対して、ある有限時刻 T > 0 において、与えられたコンパクト集合 E に正確に blow up する C^∞ 初期データが存在する。
• blowup 速度はローレンツ不変であり、自己相似解 (1.2) と一致する。すなわち、lim_{t↑σ(x)} (σ(x)−t)^{2/p} u(t,x) = (1−|σ′(x)|²)^{1/p} が成り立つ。
• blowup 表面が C^k で、4/p が整数でない場合に k > 3 + 4/p である必要がある。C^∞ 表面の場合は、このような制限は課されない。
• blowup 表面を平面的超曲面に写像する共形写像に依存しており、これによりパラメトリクス技法の適用が可能になる。
• 生存時間は、共形因子 λ の C^{⌈2+4/p⌉}_{s,y} 範囲にのみ依存し、微小摂動に対して安定であることが保証される。