[論文レビュー] Smooth subsolutions of the discounted Hamilton-Jacobi equations

Huang, Xiyao, Liang Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2020

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpactリーマン多様体上での割引ハミルトン・ヤコビ方程式 $\lambda u + H(x, du) = 0$ に対して $C^{1,1}$ の下解を構成し、それが射影されたアブリ集合上での解であることを示している。追加の双曲的仮定の下で、これらの下解の滑らかさが向上し、その結果、共形的シンプレクティック力学系の最大グローバルアトラクタを特定でき、ラックス・オレニク半群の収束速度を制御できるようになる。

ABSTRACT

For the discounted Hamilton-Jacobi equation,$$λu+H(x,d_x u)=0, \ x \in M, $$we construct $C^{1,1}$ subsolutions which are indeed solutions on the projected Aubry set. The smoothness of such subsolutions can be improved under additional hyperbolicity assumptions. As applications, we can use such subsolutions to identify the maximal global attractor of the associated conformally symplectic flow and to control the convergent speed of the Lax-Oleinik semigroups

研究の動機と目的

• 割引ハミルトン・ヤコビ方程式に対する滑らかな下解を構成し、それが射影されたアブリ集合上で解となるようにすること。
• 双曲的仮定の下で、これらの下解の正則性を向上させること。
• 構成された下解を用いて、共形的シンプレクティック力学系の最大グローバルアトラクタを同定すること。
• 構成された下解を用いて、ラックス・オレニク半群の収束速度を制御すること。

提案手法

• λ-支配関数の変分的原理を用いて、下解の集合 $\mathcal{S}^{-}$ を定義する。
• $\lambda$-支配関数からの極限過程を用いて $C^{1,1}$ の下解を構成する。
• これらの下解が射影されたアブリ集合 $\mathcal{A}$ 上で割引HJ方程式を正確に満たすことを証明する。
• 弱KAM解の理論とグローバル最小化子を用いて、下解と粘性解 $u^{-}$ を関連付ける。
• レジェンドル変換とトネリラグランジアン $L$ を用いて、ハミルトニアンと変分的定式化を結びつける。
• $\lambda$ および $L$ の摂動におけるアブリ集合の上半連続性を用いて、結果の安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 割引ハミルトン・ヤコビ方程式に対して、射影されたアブリ集合上で解となる $C^{1,1}$ の下解を構成できるか？
• RQ2 追加の双曲的仮定によって、このような下解の正則性はどのように向上するか？
• RQ3 これらの下解を用いて、共形的シンプレクティック力学系の最大グローバルアトラクタを同定できるか？
• RQ4 粘性解 $u^{-}$ は、グローバル最小化子を用いてアブリ集合を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ5 ラックス・オレニク半群はどのように収束するのか？また、構成された下解を用いてその収束を制御できるか？

主な発見

• 割引HJ方程式の粘性解 $u^{-}$ は、$\mathcal{S}^{-}$ 内のすべての $C^{\infty}$ の下解の点毎の上限として与えられ、滑らかな下解と粘性解の間の双対性を確立する。
• 構成された $C^{1,1}$ の下解は、射影されたアブリ集合 $\mathcal{A}$ 上で、割引HJ方程式を正確に満たす。これにより、下解理論とアブリ＝メイザー構造が結びつけられる。
• 双曲的仮定の下では、下解の正則性を $C^{1,1}$ を超えて向上させることができ、より強い構造的制御が可能であることを示唆する。
• アブリ集合 $\widetilde{\mathcal{A}}$ は、すべてのグローバルに補正された曲線の和集合として特徴付けられ、$\mathcal{A} = \pi(\widetilde{\mathcal{A}})$ は $M$ 上のリプシッツ連続なグラフとして与えられ、その内在的な正則性が確認される。
• ラックス・オレニク半群 $\mathcal{T}^{-}_{t}$ は $t \to \infty$ のとき $u^{-}$ に収束し、その収束速度は $F_{\gamma}(t) \to 0$ の減衰に支配される。$t$ が十分に大きいと $F_{\gamma}(t)$ は $\epsilon$ で有界である。
• アブリ集合は、$TM$ 上のハウスドルフ位相において $\lambda$ および $L$ に関して上半連続であり、摂動に対して不変集合の安定性が保証される。