[論文レビュー] Smooth toric DM stacks

Barbara Fantechi, Étienne Mann+1 more|ArXiv.org|Aug 9, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、Deligne-Mumfordトーラスの作用を通じて、滑らかなトーリックDeligne-Mumfordスタックの幾何的定義を提示し、Borisov、Chen、Smithの組合せ的スタックィーファン定義と同値であることを証明する。主な貢献は、下からの分類である：任意のこのようなスタックは、単体的トーリック多様体上での根スタックの逐次的構成によって得られ、その明示的不変量はピカード群内の除数次数およびラインバンドル類に結びつく。

ABSTRACT

We give a new definition of smooth toric DM stacks in the same spirit of toric varieties. We show that our definition is equivalent to the one of Borisov, Chen and Smith in terms of stacky fans. In particular, we give a geometric interpretation of the combinatorial data contained in a stacky fan. We also give a bottom up classification in terms of simplicial toric varieties and fiber products of root stacks.

研究の動機と目的

• 滑らかなトーリックDeligne-Mumfordスタックの幾何的で作用に基づく定義を提示し、組合せ的スタックィーファンフレームワークと整合させる。
• 単体的トーリック多様体上での根スタックの逐次的拡張を用いて、滑らかなトーリックDMスタックの下からの構成を確立する。
• 滑らかなトーリックDMスタックのピカード群を特徴付け、それを用いて完全なトーリックオルビフォールドおよび重み付きプロジェクト型スタックを分類する。
• 一般安定化が自明なスタックに対して、ブラウアー群から開稠密トーラスへの写像が単射であることを証明する。
• インertリアスタックから粗いモジュライ空間への自然な準同型が、一般安定化の場合に同型であることを、スタックィー版のザリスキの主要定理を用いて示す。

提案手法

• Deligne-Mumfordトーラスを、$T \times \mathcal{B}G$ に同型なピカードスタックとして定義する。ここで $T$ はトーラス、$G$ は有限アーベル群である。
• 滑らかで分離されたDeligne-Mumfordスタックとして、開で稠密な軌道がトーラスに同型となるDeligne-Mumfordトーラス作用を持つものとして、滑らかなトーリックDMスタックを構成する。
• 粗いモジュライ空間の準同型を $\mathcal{X}^{\mathrm{rig}} \to \mathcal{X}^{\mathrm{can}} \to X$ とファクタライズするため、標準スタックの構成を用いる。ここで $X$ は単体的トーリック多様体である。
• $\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}$ を、ファンのレイトに対応する次数 $a_i$ を持つトーリック除数上の根スタックのファイバー積として実現する。
• $\mathcal{X}$ を、$\mathrm{Pic}(\mathcal{X}^{\mathrm{rig}})$ 内のラインバンドル $L_j$ 上の根スタックのファイバー積として実現する。ここで次数は $b_j$ であり、$[L_j]$ が $b_j\mathrm{Pic}(\mathcal{X}^{\mathrm{rig}})$ による商群 $\mathrm{Pic}(\mathcal{X}^{\mathrm{rig}})/b_j\mathrm{Pic}(\mathcal{X}^{\mathrm{rig}})$ において一意に定まる。
• スタックィー版のザリスキの主要定理を証明する：滑らかなDMスタック間の代表的で、有理型的かつ準有限かつ全射な準同型は同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなトーリックDeligne-Mumfordスタックを、スタックィーファンに依存せずに、群作用を通じて幾何的に定義する方法は何か？
• RQ2 根スタックと単体的トーリック多様体を用いた、滑らかなトーリックDMスタックの正確な下からの構成は何か？
• RQ3 スタックィーファンに含まれる組合せ的データが、スタック構造および不変量とどのように幾何的に対応するか？
• RQ4 滑らかなトーリックDMスタックのピカード群の構造は何か？そして、それがこのようなスタックを分類する上でどのように役立つか？
• RQ5 一般安定化が自明な滑らかなトーリックDMスタックに対して、ブラウアー群から開稠密トーラスへの写像は単射か？

主な発見

• Deligne-Mumfordトーラス作用による滑らかなトーリックDMスタックの幾何的定義は、Borisov、Chen、Smithのスタックィーファン定義と同値である。
• トーラス $T \times \mathcal{B}G$ を持つ任意の滑らかなトーリックDMスタック $\mathcal{X}$ は、$\mathcal{X}^{\mathrm{rig}}$ 上の根スタックのファイバー積として得られ、次数 $a_i$ はファンのレイトによって一意に定まる。
• スタック $\mathcal{X}$ は、$\mathrm{Pic}(\mathcal{X}^{\mathrm{rig}})$ 内のラインバンドル $L_j$ 上の根スタックのファイバー積として同型に実現され、$[L_j]$ は $\mathrm{Pic}(\mathcal{X}^{\mathrm{rig}})/b_j\mathrm{Pic}(\mathcal{X}^{\mathrm{rig}})$ において一意に定まる。
• 重み付きプロジェクト型スタックは、巡回ピカード群を持つ完全なトーリックオルビフォールドとして特徴付けられる。
• 一般安定化が自明な滑らかなトーリックDMスタックに対して、ブラウアー群から開稠密トーラスへの写像は単射である。
• スタックィー版のザリスキの主要定理が成り立つ：滑らかなDMスタック間の代表的で、有理型的かつ準有限かつ全射な準同型は同型である。