[論文レビュー] Smooth varieties up to A^1-homotopy and algebraic h-cobordisms

Aravind Asok, Fabien Morel|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、代数的トポロジーにおけるh-コボルディズムの代数的幾何学的類似物であるA¹-h-コボルディズムを導入し、A¹ホモトピー同値に関して滑らかでコンパクトな多様体を分類することを目的としている。代数閉体上では、有理型で滑らかでコンパクトな曲面は、A¹基本群の層の同型類によって一意に分類可能であり、そのようなタイプは可算個に限られるが、それらの同型類は非可算個存在する。

ABSTRACT

We start to study the problem of classifying smooth proper varieties over a field k from the standpoint of A^1-homotopy theory. Motivated by the topological theory of surgery, we discuss the problem of classifying up to isomorphism all smooth proper varieties having a specified A^1-homotopy type. Arithmetic considerations involving the sheaf of A^1-connected components lead us to introduce several different notions of connectedness in A^1-homotopy theory. We provide concrete links between these notions, connectedness of points by chains of affine lines, and various rationality properties of algebraic varieties (e.g., rational connectedness). We introduce the notion of an A^1-h-cobordism, an algebro-geometric analog of the topological notion of h-cobordism, and use it as a tool to produce non-trivial A^1-weak equivalences of smooth proper varieties. Also, we give explicit computations of refined A^1-homotopy invariants, such as the A^1-fundamental sheaf of groups, for some A^1-connected varieties. We observe that the A^1-fundamental sheaf of groups plays a central yet mysterious role in the structure of A^1-h-cobordisms. As a consequence of these observations, we completely solve the classification problem for rational smooth proper surfaces over an algebraically closed field: while there exist arbitrary dimensional moduli of such surfaces, there are only countably many A^1-homotopy types, each uniquely determined by the isomorphism class of its A^1-fundamental sheaf of groups.

研究の動機と目的

• A¹ホモトピー理論の枠組み内で、位相的h-コボルディズム理論の代数的幾何学的類似物を構築すること。
• 特に有理型曲面に注目して、滑らかでコンパクトな多様体をA¹ホモトピー同値に関して分類すること。
• A¹基本群の層が、多様体のA¹ホモトピー型を分類する上で果たす役割を理解すること。
• A¹連結性、有理型性の性質（例えば、有理型連結性、再帰的有理型性）および双有理幾何学との関係を明確にすること。
• A¹不変量を用いて「ほぼ有理型」な多様体を研究するホモトピー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 滑らかでコンパクトな多様体の間で非自明なA¹弱同値を構成するための道具として、A¹-h-コボルディズムの概念を導入する。
• A¹連結性の複数の概念（A¹連結、A¹鎖連結、弱A¹連結、およびエタール版）を定義し、それらを比較する。
• A¹連結成分の層π₀^A¹(X) およびそのエタール版・双有理版を用いて、連結性と有理型性を分析する。
• P¹ や有理型曲面といった重要な例について、洗練されたA¹ホモトピー不変量、特にA¹基本群の層を計算する。
• 強いA¹不変性およびA¹局所的分類空間を用いて、A¹連結なスキームのコhomological性質を研究する。
• 双有理幾何学およびR同値の結果を応用し、A¹トポロジカル不変量と古典的有理型条件との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの滑らかでコンパクトな多様体がA¹ホモトピー同値であるか。この分類はどのように体系的に行えるか。
• RQ2 A¹連結性の諸概念（例えば、A¹連結、A¹鎖連結、弱A¹連結）は、有理型連結性や再帰的有理型性といった古典的有理型性条件とどのように関係するか。
• RQ3 A¹基本群の層が、滑らかでコンパクトな多様体のA¹ホモトピー型を分類する上で果たす役割は何か。
• RQ4 A¹-h-コボルディズムを用いて、同型でない滑らかでコンパクトな多様体の間で非自明なA¹弱同値を構成できるか。
• RQ5 算術的および幾何的性質（例えば、エタールコhomology、双有理不変量）とA¹ホモトピー不変量は、どのように相互作用するか。

主な発見

• 代数閉体上では、有理型で滑らかでコンパクトな曲面のA¹ホモトピー型は高々可算個であり、それぞれがA¹基本群の層の同型類によって一意に決定される。
• 完備体上では、分離的に有理型連結な多様体は弱A¹連結であり、体の特徴が0であれば、再帰的k-有理型な多様体はA¹鎖連結である。
• 有理型で滑らかでコンパクトな曲面のA¹ホモトピー分類は完全に解決されており、A¹基本群の層によって支配されている。
• A¹基本群の層は、A¹-h-コボルディズムの構造において中心的かつ不思議な役割を果たしており、より深いホモトピー的制約を示唆している。
• 任意の体上の滑らかでコンパクトな多様体について、A¹鎖連結性はA¹連結性と同値であり、弱A¹鎖連結性は弱A¹連結性と同値である。
• A¹連結成分の層π₀^A¹(X) は、A¹連結成分のエタール層化へ全射に写像し、適切な条件下では同型となる。これにより、ホモトピー的不変量と算術的不変量が結びつけられる。