[論文レビュー] Smoothing a measure on a Riemann surface using Ricci flow

Peter M. Topping, Hao Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の連結なリーマン面に対して、非原子的ラドン測度として与えられる初期データをもつ滑らかで完全な共形リッチフローの存在および一意性を確立し、幾何的フロー分野における長年の問題を解決した。この手法は、共形因子に関する対数的高速拡散方程式 ∂u/∂t = Δ(log u) の解法に依拠しており、主な結果として、最初の既知の非勾配型ケーラー・リッチソリトンの構成と、距離収束が t=0 での滑らかさを意味するという予想の反例が得られた。

ABSTRACT

We formulate and solve the existence problem for Ricci flow on a Riemann surface with initial data given by a Radon measure as volume measure. The theory leads us to a large class of new examples of nongradient expanding Ricci solitons, including the first example of a nongradient Kaehler Ricci soliton. It also settles the question of whether a smooth flow for positive time that attains smooth initial data in a distance metric sense must be smooth down to the initial time. We disprove this by giving an example of a complete Ricci flow starting with the Euclidean plane that is not the static solution.

研究の動機と目的

• 初期データがラドン測度である場合のリーマン面上でのリッチフローの存在問題を解決すること。
• 距離位相で滑らかな計量に収束するリッチフローが t=0 で滑らかであるかどうかという長年の疑問に応えること。
• 拡張型リッチソリトンの新しい例、特に最初の非勾配型ケーラー・リッチソリトンを構成すること。
• 共形リッチフローにおける測度値初期データの適切な定式化理論を確立すること。
• 初期データが弱収束または距離収束によって達成されるリッチフローの一意性を調査すること。

提案手法

• 共形因子 u に対して ∂u/∂t = Δ(log u) という対数的高速拡散方程式の解としてリッチフローを定式化すること。
• t ↓ 0 のときの体積測度 µg(t) → µ の弱収束を用いて、ラドン測度としての初期データを定義すること。
• 初期測度の滑らかな共形計量による近似と、事前推定を用いた極限への移行により存在を証明すること。
• 比較原理およびバリア法を用いて、特異点やアトム付近での共形因子を制御すること。
• 対称性およびスケーリング不変性を用いて、直線またはらせん上に台を持つ測度から明示的なソリトン解を構成すること。
• L1_loc 収束と滑らかな初期データに対する既知の一意性結果との比較を用いて、一意性予想を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非原子的ラドン測度を初期データとして持つリーマン面上に、滑らかで完全な共形リッチフローが存在するか？
• RQ2 距離位相で滑らかな計量に収束するリッチフローが、t=0 で滑らかでない場合があるか？
• RQ3 特異な初期測度からどのような新しい種類の拡張型リッチソリトンを構成できるか？
• RQ4 体積測度の弱収束によって与えられたラドン測度に初期データが達成されるとき、リッチフローは一意に定まるか？
• RQ5 理論によって、非勾配型ケーラー・リッチソリトンの最初の例を生み出せるか？

主な発見

• 任意の連結なリーマン面 M に対して、t ∈ (0,T) で滑らかで完全な共形リッチフローが存在する。ここで T = µ(M)/(4π)（M = C の場合）、T = µ(M)/(8π)（M = S² の場合）、それ以外では T = ∞ であり、初期測度 µ が非原子的である限り成立する。
• T < ∞ ならば t ↑ T のとき Volg(t)(M) → 0 であり、µ が開集合 Ω に特異部を持たないとき、µg(t) → µ が L1_loc(Ω) で成り立つ。
• R² 内の直線上に台を持つ 1 次元ハウスドルフ測度を用いて、最初に知られる非勾配型ケーラー・リッチソリトンが構成された。
• 距離収束が滑らかな計量に到達しても、t=0 でフローが滑らかでないという反例が構成され、Deruelle と Richard の予想が否定された。
• ユークリッド計量に直線測度を加えた初期データから出発するフローは静的解でないが、t ↓ 0 のとき dg(t) → dg0 局所一様に成り立つ。
• 共形因子 u(x,t) = 2t/(t² + x²) は、y 軸上に台を持つ測度に対して明示的な拡張型ソリトンを与えるが、これは勾配ソリトンでない。