[論文レビュー] Smoothing Properties of Fractional Ornstein-Uhlenbeck Semigroups and Null-Controllability

Paul Alphonse, Joackim Berniér|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 36被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、カルマンランク条件の下で、分数オーランシュタイン・ウーレンバック作用素によって生成される半群に対して、Gevrey型の滑らかさ特性を確立する。これにより、正の時刻で解が無限回Gevrey正則性を獲得することが証明される。この正則化効果により、2つの主要な結果が得られる：(1) 厚さのある制御集合からの、関連する放物型方程式のノルム制御可能性、(2) 指数的補間理論を用いた、全局的$L^2$サブエルミート的推移の評価。

ABSTRACT

We study fractional hypoelliptic Ornstein-Uhlenbeck operators acting on $L^2(\\mathbb{R}^n)$ satisfying the Kalman rank condition. We prove that the semigroups generated by these operators enjoy Gevrey regularizing effects. Two byproducts are derived from this smoothing property. On the one hand, we prove the null-controllability in any positive time from thick control subsets of the associated parabolic equations posed on the whole space. On the other hand, by using interpolation theory, we get global $L^2$ subelliptic estimates for the these operators.

研究の動機と目的

• $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の分数オーランシュタイン・ウーレンバック作用素によって生成される半群の滑らかさ特性を分析すること。
• 厚さのある制御集合からの、関連する放物型方程式のノルム制御可能性を、任意の正の時刻で確立すること。
• 補間理論を用いて、作用素に対する全局的$L^2$サブエルミート的推移評価を導出すること。
• 古典的（$s=1$）の場合から分数的（$s>0$）の場合への、超局所性および正則性に関する既知の結果の拡張。
• 分数ケルモゴロフ型作用素と安定リーヴィ音の添え字付き確率過程の分析を、共通の枠組みで統一すること。

提案手法

• 著者らは、$s>0$、$Q$ を対称正定値半定値行列、$B$ を行列として、$L^2(\mathbb{R}^n)$ 上の分数オーランシュタイン・ウーレンバック作用素 $\mathcal{P} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}^s(-Q\nabla_x^2) + \langle Bx, \nabla_x \rangle$ を分析する。
• 彼らは、カルマンランク条件 $\operatorname{Rank}[B \mid Q^{1/2}] = n$ を満たす場合、半群 $(e^{-t\mathcal{P}})_{t\geq 0}$ がGevrey正則化効果を示すことを証明する。
• 証明は、スペクトル解析とフーリエ乗算子技術に依拠し、半群の核のフーリエ変換の減衰を制御する。
• ノルム制御可能性は、Gevrey滑らかさと、厚さのある制御集合の理論および双対性の議論を組み合わせることで確立される。
• サブエルミート的推移は、$L^2$ と Gevrey空間の間の補間理論を用いて導出され、正則化効果を活用する。
• 分析には、$\mathcal{P} = v\cdot\nabla_x + (-\Delta_v)^s$ としての分数ケルモゴロフ作用素の詳細な検討が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $s>0$ である分数オーランシュタイン・ウーレンバック作用素によって生成される半群が、カルマンランク条件の下でGevrey型滑らかさを示すか。
• RQ2 作用素 $\mathcal{P}$ に関連する放物型方程式が、任意の正の時刻で、厚さのある制御集合からノルム制御可能か。
• RQ3 $\mathcal{P}$ の $L^2$-空間におけるサブエルミート的正則性の正確な性質は何か。
• RQ4 $\mathcal{P}$ の滑らかさ特性は、古典的オーランシュタイン・ウーレンバック作用素（$s=1$）のそれとどのように比較できるか。
• RQ5 カルマンランク条件が、半群の正則化および制御特性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• カルマンランク条件が成立する場合、任意の $t>0$ に対して、半群 $e^{-t\mathcal{P}}$ は、$s$ 階のGevrey正則化効果を生成する。
• カルマン条件が成立する下で、放物型方程式 $\partial_t u + \mathcal{P}u = 0$ は、$\mathbb{R}^n$ の任意の厚さのある制御集合から、任意の正の時刻でノルム制御可能である。
• $L^2$ と Gevrey空間の間の補間により、$\mathcal{P}$ に対して、全局的$L^2$サブエルミート的推移評価が導出され、作用素の超局所性を反映している。
• 分数ケルモゴロフ作用素 $v\cdot\nabla_x + (-\Delta_v)^s$ はカルマン条件を満たし、同じ滑らかさおよび制御特性を有する。
• カルマンランク条件と、共分散行列 $Q_t$ の非退化性との同値性が確立され、$\mathcal{P}$ の超局所性が裏付けられる。
• 既知の $L^2$ 正則性および制御結果を、$s=1$ の古典的状況から $s>0$ の分数的状況へと拡張し、パrameter $s$ への明示的依存性を示した。