[論文レビュー] Smoothness and singularities of the perfect form and the second Voronoi compactification of ${\mathcal A}_g$

Mathieu Dutour Sikirić, Klaus Hulek+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 principally polarized abelian variety のモジュライ空間の2つのトーラス的コンパクト化、すなわち完全錐コンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ と第二ヴォロインコンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ の特異点を調査する。$\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 内の完全錐と多面体分割の組合せ的解析を用いて、$g \geq 4$ のとき $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ の特異点集合は codimension 10 をもち、$g \geq 5$ のとき $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ は codimension 3 に特異点を持つことが証明され、後者の場合には非単体的錐の明示的例が与えられる。

ABSTRACT

We study the cones in the first Voronoi or perfect cone decomposition of quadratic forms with respect to the question which of these cones are basic or simplicial. As a consequence we deduce that the singular locus of the moduli stack ${\mathcal A_g^{\mathop{Perf}}}$, the toroidal compactification of the moduli space of principally polarized abelian varieties of dimension $g$ given by this decomposition, has codimension $10$ if $g \geq 4$. Moreover we describe the non-simplicial locus in codimension $10$. We also show that the second Voronoi compactification ${\mathcal A_{g}^{\mathop{Vor}}}$ has singularities in codimension $3$ for $g\geq 5$.

研究の動機と目的

• principally polarized abelian variety のモジュライ空間の完全錐コンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ における特異点集合のcodimensionを特定すること。
• $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 内の完全錐の幾何学的および組合せ的性質、特にその単体的および基本的性質を分析すること。
• 第二ヴォロインコンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ の特異点を調査し、その特異点集合のcodimensionに注目すること。
• 9次元の完全錐を分類し、完全錐が常に低次元で単体的かつ基本的であるかどうかを検討すること。
• $g \geq 5$ の場合に、第二ヴォロイン分割における非単体的錐の明示的例を提供すること。

提案手法

• $\operatorname{GL}_g(\mathbb{Z})$-不変な多面体分割を用いて、正定値二次形式の第一ヴォロイン（完全錐）分割を分析する。
• [KMS] アルゴリズムに基づき、$\operatorname{GL}_8(\mathbb{Z})$ によるユニモジュラー同値性を用いて 9 次元完全錐のアルゴリズム的分類を行う。
• 1次元の面の整数生成子が $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ の $\mathbb{Z}$-基底に拡張可能かどうかを検証することで、錐の基本性をテストする。
• $g \leq 5$ まで既知の第二ヴォロイン分割の結果を適用し、明示的なグラム行列を用いて高次元 $g$ への非単体的錐の拡張を行う。
• 明示的な $5 \times 5$ グラム行列を用いて、錐がその次元より多くの極値線を生成しているかどうかをチェックすることで、非単体的性を検証する。
• 小さな $g$ における錐分割をアクセス・検証するため、電子データベースおよび [scc] のような計算ツールを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \geq 4$ のとき、完全錐コンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ における特異点集合のcodimensionは何か？
• RQ2 $g \leq 9$ のとき、すべての完全錐が単体的かつ基本的であるか？
• RQ3 $g \geq 5$ のとき、第二ヴォロインコンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ における特異点集合のcodimensionは何か？
• RQ4 $g \geq 5$ の場合に、第二ヴォロイン分割における非単体的錐を明示的に構成可能か？
• RQ5 第二ヴォロイン分割のすべての錐の生成子が、$\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ の指数 1 の部分格子を張るか？

主な発見

• $g \geq 4$ のとき、完全錐コンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ の特異点集合は codimension 10 をもつ。
• codimension 10 において、$\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ の非単体的集合は 9 次元完全錐の分類を用いて明示的に記述される。
• $g \geq 5$ のとき、第二ヴォロインコンパクト化 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ は codimension 3 に特異点を持つことが示され、次元 3 で 4 個の生成子を持つ非単体的錐の存在によって裏付けられる。
• $g \leq 9$ のとき、すべての完全錐は単体的かつ基本的であるが、一般の多面体錐については成り立たない。
• $g=5$ の場合に、第二ヴォロイン分割における非単体的錐の明示的例が提供され、グラム行列により 4 個の生成子が 3 次元の錐を生成することを示す。
• 本稿では、第二ヴォロイン分割のすべての錐が $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 内で指数 1 の部分格子を張るかどうかは未解決のまま残っているが、指数 $>1$ の例は見つかっていない。