[論文レビュー] Smoothness in Relative Geometry

Florian Marty|ArXiv.org|Dec 5, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Rezkの研究を基に、単体的対象とモデル構造を用いて、閉じた対称モノイダル圏 $Σ$ 上の相対代数幾何における滑らかさのホモトピー的一般化を導入する。滑らかさはホモトピー的有限提示、ゼロTor次元、および対角のホモトピー的有限提示によって定義され、環における古典的滑らかさを回復し、合成およびホモトピー上の余極限に関して安定であることが示され、$ℕ$-modおよび$ℕ$-modにおける例が提示される。

ABSTRACT

In \cite{tva}, Bertrand Toen and Michel Vaquie defined a scheme theory for a closed monoidal category $(C,\otimes,1)$. In this article, we define a notion of smoothness in this relative (and not necesarilly additive) context which generalizes the notion of smoothness in the category of rings. This generalisation consists practically in changing homological finiteness conditions into homotopical ones using Dold-Kahn correspondance. To do this, we provide the category $sC$ of simplicial objects in a monoidal category and all the categories $sA-mod$, $sA-alg$ ($a\in sComm(C)$) with compatible model structures using the work of Rezk in \cite{r}. We give then a general notions of smoothness in $sComm(C)$. We prove that this notion is a generalisation of the notion of smooth morphism in the category of rings and provide some examples of smooth morphisms in $N-alg$, $Comm(Set)$ and Comm(C).

研究の動機と目的

• 可換環における古典的滑らかさの概念を、ホモトピー的有限性条件を用いて、相対的かつ非加法的文脈に一般化すること。
• モノイダル圏$Σ$上の単体的可換モノイドの圏$s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$において滑らかさを定義し、古典的滑らかさを拡張すること。
• 相対的文脈において、合成およびホモトピー上の余極限に関して滑らかさが安定することを確立すること。
• 例えば$ℕ$-modおよび$ℕ$-modのような非加法的文脈における滑らかさの具体的な例を提供すること。
• Dold-Kahn対応を用いて、ホモロジー的有限性条件（例えば、完全性、有限提示）とホモトピー的類似物を統一すること。

提案手法

• Rezkの研究を用いて、任意の$A \in s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$に対して、$s\mathcal{C}$、$sA$-mod、$sA$-algに適合するモデル構造を備えること。
• Dold-Kahn対応を適用し、ホモロジー的有限性条件をホモトピー的条件（例えば、ホモトピー的有限提示）に置き換えること。
• 滑らかさを3つの条件で定義する：(i) $C$ は $B$ に対してホモトピー的に有限提示である、(ii) $C$ は $B$ に対してTor次元0である、(iii) $C \otimes^h_B C \to C$ は $sC \otimes^h_B C$-modにおいてホモトピー的に有限提示である。
• Dold-Kahn対応により、チェーン複体における完全性が単体的加群におけるホモトピー的有限提示に対応することを活用すること。
• $\underline{\mathrm{Hom}}^\Delta(1,-)$ の随伴性を用いて、$\mathrm{Set}$ における滑らかさの性質を $s\mathrm{Set}$ および $s\mathbb{N}$-mod に持ち込むこと。
• Zariski開埋め込みに関する結果を適用し、$A$ がコバナであり、$f \in A_0$ であるとき、$A \to A_f$ が滑らかであることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環における古典的滑らかさの概念を、非加法的かつ相対的幾何的文脈にどのように一般化できるか？
• RQ2 相対的文脈において、古典的ホモロジー的有限性条件（有限提示、平坦性、完全性）に対応するホモトピー的条件は何か？
• RQ3 提案された滑らかさの概念は、$s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$ において合成およびホモトピー上の余極限に関して安定か？
• RQ4 アフィン直線$\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_1}$ および $\mathbb{G}_m$ が、$\mathbb{N}$-mod や $\mathrm{Set}$ において滑らかであることを示せるか？
• RQ5 Zariski開埋め込みが、相対的ホモトピー的枠組みにおいていつ滑らかになるか？

主な発見

• 提案された滑らかさ条件は、古典的滑らかさを一般化する：$\mathcal{C} = \mathbb{Z}$-mod のとき、定義は有限提示、平坦性、完全性を含む標準的基準を回復する。
• $s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$ における滑らかさは合成およびホモトピー上の余極限に関して安定であり、良好な圏的性質を保証する。
• $s\mathrm{Comm}(\mathrm{Set})$ において、$φ_1 \to \mathbb{N}$ は滑らかであり、$s\mathbb{N}$-mod において、$\mathbb{N} \to \mathbb{N}[X]$ は滑らかである。これらは非加法的文脈における重要な例を提供する。
• アフィン直線$\mathbb{A}^1_{\mathbb{N}}$ は、$\mathbb{N}[X]$ が $\mathbb{N}$ 上自由であるため、$\mathbb{N}$-mod において滑らかである。
• $\mathbb{G}_{m,\mathbb{N}}$ は、$\mathbb{N}[X,X^{-1}]$ が局域化であるため、$\mathbb{N}$-mod において滑らかである。
• Zariski開埋め込み$A \to B$ は、$A$ がコバナであり、$B$ が $A$ に対してコバナであるとき、$hfp$-性およびゼロTor次元のため滑らかである。