[論文レビュー] Smoothness of cohomology sheaves of stacks of shtukas

Cong Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、任意の再帰的群 $G$ に対して、shtuka のスタックのコンパクトな補題を伴うコhomology 女性が $(X\setminus N)^I$ 上でind-smooth であることを確立し、その幾何的一般ファイバーが $\operatorname{Weil}(X\setminus N,\overline{\eta})^I$ の作用を持つことを示している。証明は、コンパクト化やヘッケ加群の有限性に依存せず、Eichler-Shimura の関係と生成・消滅作用素に依存しており、非可換群やカスプ的層へも拡張可能である。

ABSTRACT

We prove, for all reductive groups, that the cohomology sheaves with compact support of stacks of shtukas are ind-smooth over $(X - N)^I$ and that their geometric generic fibers are equiped with an action of $ ext{Weil}(X - N, \overlineη)^I$. Our method does not use any compactification of stacks of shtukas.

研究の動機と目的

• 任意の再帰的群 $G$ に対して、コンパクト化に依存せずに、$(X\setminus N)^I$ 上でのshtuka スタックのコホモロジー女性のind-smoothness を確立すること。
• ヘッケ加群の有限性に依存しない新しい証明を提供し、コホモロジー女性の幾何的一般ファイバーが $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ の作用を持つことの証明を行うこと。
• 任意の分割 $I = I_1 \sqcup I_2$ に対して一般化し、任意の閉点 $\overline{u}$ に対して $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 上での制限が定数であることを示すこと。
• 任意の幾何的点への特化写像が同型であることを示すことにより、コホモロジー女性が $(X\setminus N)^I$ 上でind-smooth であることを証明すること。
• 定数項写像を用いて、滑らかでカスプ的であるコホモロジー女性部分女性 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$ を定義し、その滑らかさと一般ファイバーにおける有限次元性を証明すること。

提案手法

• Lafforgue (2018) のEichler-Shimura関係を用いて、ヘッケ加群の有限性を仮定せず、幾何的一般ファイバー上のWeil群作用の新しい証明を構築すること。
• Lafforgue (2018) の生成・消滅作用素を用いて、任意の幾何的点 $\overline{x}$ に対して、写像 $\Upsilon: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}}$ を構成すること。
• 「Zorroの補題」を用いて、合成写像 $\Upsilon \circ \mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*$ および $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^* \circ \Upsilon$ が同型であることを示し、特化写像が同型であることを証明すること。
• ind-smoothness の結果を用いて、$\eta^I$ から $(X\setminus N)^I$ への定数項写像の拡張を行い、カスプ的コホモロジー女性部分女性の定義を可能にすること。
• すべての固有パラボリック部分群を走る定数項写像の核の共通部分として、カスプ的コホモロジー女性を定義すること。
• カスプ的女性の一般ファイバーが有限次元であること（[Xue18a] より）と、特化写像が同型であることから、カスプ的女性が滑らかであることを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の再帰的群 $G$ に対して、コホモロジー女性 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ は $(X\setminus N)^I$ 上でind-smooth か？
• RQ2 ヘッケ代数上のコホモロジー女性が有限型であると仮定しないで、$\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ の作用が幾何的一般ファイバーに定義可能か？
• RQ3 任意の分割 $I = I_1 \sqcup I_2$ および任意の閉点 $\overline{u}$ に対して、$\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ の $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 上での制限は定数のままであるか？
• RQ4 任意の幾何的点 $\overline{x}$ に対して、特化写像 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ が同型を誘導するか？
• RQ5 カスプ的コホモロジー女性部分女性 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$ は $(X\setminus N)^I$ 上で滑らかか？

主な発見

• コホモロジー女性 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ は $(X\setminus N)^I$ 上でind-smooth であり、これは滑らかな $E$-女性の帰納極限として表される。
• 任意の幾何的点 $\overline{x}$ に対して、特化写像 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ は同型であり、これがind-smoothness の証明となる。
• $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ 上での $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ の作用は $\operatorname{Weil}(X\setminus N,\overline{\eta})^I$ を通して因数分解され、Weil群作用が全体の底空間へ拡張される。
• $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{({\overline{\eta}})^I}$ は定数女性であり、したがってind-smooth である。
• 任意の分割 $I = I_1 \sqcup I_2$ に対して、任意の幾何的点 $\overline{u}$ に対して、$\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ の $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 上での制限は定数女性である。
• カスプ的コホモロジー女性 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$ は $(X\setminus N)^I$ 上で滑らかであり、これはind-smooth であり、その幾何的一般ファイバーが有限次元であるためである。