[論文レビュー] Smoothness of scale functions for spectrally negative Levy processes

Terence Chan, Andreas E. Kyprianou+1 more|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Probability and Risk Models参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スペクトラルにネガティブな Lévy 迁移過程に関連するスケール関数の滑らかさに関する十分条件を、Lévy 済みとガウス係数に関して確立する。拡張理論、ラプラス変換、再生方程式を活用することで、Blumenthal-Getoor 指数が 2 より小さい、または Lévy 済みが十分に滑らかな密度を持つ場合、スケール関数 $ W^{(q)} $ が $ (0,\infty) $ 上で $ C^k $（$ k=2,3,\dots $）であることを証明する。これは、既知の微分可能性および再生関数の滑らかさに関する結果を拡張する。

ABSTRACT

Scale functions play a central role in the fluctuation theory of spectrally negative Lévy processes and often appear in the context of martingale relations. These relations are often complicated to establish requiring excursion theory in favour of Itô calculus. The reason for the latter is that standard Itô calculus is only applicable to functions with a sufficient degree of smoothness and knowledge of the precise degree of smoothness of scale functions is seemingly incomplete. The aim of this article is to offer new results concerning properties of scale functions in relation to the smoothness of the underlying Lévy measure. We place particular emphasis on spectrally negative Lévy processes with a Gaussian component and processes of bounded variation. An additional motivation is the very intimate relation of scale functions to renewal functions of subordinators. The results obtained for scale functions have direct implications offering new results concerning the smoothness of such renewal functions for which there seems to be very little existing literature on this topic.

研究の動機と目的

• スペクトラルにネガティブな Lévy 迁移過程のスケール関数 $ W^{(q)} $ の滑らかさ特性を、既知の $ C^1 $ の場合を越えて調査すること。
• スケール関数 $ W^{(q)} \in C^k(0,\infty) $ を保証する Lévy 済み $ \Pi $ とガウス係数 $ \sigma^2 $ に対する明確な条件を同定すること。
• サブオルダレーターの再生関数の滑らかさに関する結果を拡張し、スケール関数とそれらの再生関数との密接な関係を活用すること。
• 拡張理論とラプラス変換を用いた厳密な解析的枠組みを提供し、スケール関数の高階微分可能性を確立すること。

提案手法

• スケール関数の拡張理論的表現 $ W(x) = W(a) \exp\left(-\int_x^a n(\overline{\epsilon} > t) dt\right) $ を用いて、$ W $ の微分構造を分析する。
• 左および右微分の表現を導出する。それぞれ $ W'(x\pm) = n(\overline{\epsilon} \geq x)W(x) $ および $ W'(x\pm) = n(\overline{\epsilon} > x)W(x) $ である。
• 変位測度 $ dP_x^{\Phi(q)}/dP_x|_{\mathcal{F}_t} = e^{\Phi(q)(X_t - x) - qt} $ を適用し、$ W^{(q)} $ を変換された過程のスケール関数に関連付ける。
• スケール関数を再生方程式 $ f = 1 + f * g $ に変換する。ここで $ f = W^{(q)} $ であり、$ g $ は Lévy 済みの尾部に依存する。
• Kyprianou と Zhou (2009) の定理 7 を用いて、$ g' $ および $ g'' $ の減衰条件を満たすことで $ C^k $ 滑らかさを確立する。具体的には $ |g'(x)| \leq C(a)x^{-\alpha} $ および $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\alpha-1} $（$ \alpha < 1 $）を満たす。
• Blumenthal-Getoor 指数 $ \vartheta \in (1,2) $ の分析により、$ \overline{\Pi}(x) $ および $ \overline{\overline{\Pi}}(x) $ を評価し、滑らかさのための可積分性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy 済み $ \Pi $ とガウス係数 $ \sigma^2 $ がどのような条件下で、スケール関数 $ W^{(q)} $ が $ (0,\infty) $ 上で2回連続微分可能となるか。
• RQ2 Lévy 済みの Blumenthal-Getoor 指数 $ \vartheta $ が、特に $ k \geq 2 $ の場合に $ W^{(q)} $ の滑らかさにどのように影響を与えるか。
• RQ3 スケール関数 $ W^{(q)} $ の滑らかさと、サブオルダレーターに関連する再生関数の滑らかさとの間の明確な関係は何か。
• RQ4 $ C^k $ 正則性が再生方程式フレームワークを通じて確立可能か。また、核 $ g $ に必要な減衰条件は何か。
• RQ5 $ \psi'(0+) \geq 0 $ の仮定が解析をどのように簡素化し、$ W(x) $ の級数表現の使用を可能にするか。

主な発見

• Lévy 済み $ \Pi $ が $ \int_{-1}^0 |x|^\vartheta \Pi(dx) < \infty $ を満たす $ \vartheta \in (1,2) $ が存在する場合、$ W^{(q)} $ は $ (0,\infty) $ 上で $ C^2 $ である。これは再生方程式における $ g' $ および $ g'' $ の必要な減衰を保証する。
• $ k \geq 3 $ の場合、Lévy 済みが密度 $ \pi(x) $ を持ち、$ \pi(x) \leq C x^{-\vartheta} $（$ \vartheta \in (1,2) $）を満たすならば、$ W^{(q)} \in C^k(0,\infty) $ である。これは $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\vartheta} $ および $ \vartheta < 2 $ を意味し、定理 7 の条件を満たす。
• $ W''(x) $ が $ (0,\infty) $ 全体で存在し連続であるためには、$ n(\overline{\epsilon} \geq x, \epsilon_{\sigma_x} = x) $ が連続であることが必要であり、これは $ W'(x)/W(x) $ と $ \overline{\Pi}(y) $ を含む積分項の右辺表現から導かれる。
• $ \psi'(0+) \geq 0 $ のとき、スケール関数は級数表現 $ W(x) = \frac{1}{c} \sum_{n \geq 0} g^{*n}(x) $ を持つ。ここで $ g(x) = \frac{1}{c} \int_0^x \overline{\Pi}(y) dy $ である。これにより、高階滑らかさのための再生方程式技法が利用可能になる。
• サブオルダレーターに関連する再生関数の滑らかさは、$ W^{(q)} $ の滑らかさから直接的に導かれる。これは、先行研究が限られている分野において新たな結果を提供する。
• $ C^k $ 滑らかさの証明は、$ |g'(x)| \leq C(a)x^{-\alpha} $ および $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\alpha-1} $（$ \alpha < 1 $）のバインドに依存する。これは、Lévy 済みの尾部 $ \overline{\Pi}(x) $ が $ x^{-\vartheta} $ のように $ \vartheta \in (1,2) $ で減衰する場合に達成される。