[論文レビュー] Smoothness of stable holonomies inside center-stable manifolds and the $C^2$ hypothesis in Pugh-Shub and Ledrappier-Young theory

Aaron Brown|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、$C^{1+\beta}$微分同相写像に対して、中心安定多様体内の安定ホロノミーが適切なバンドリング条件のもとで一様に双リプシッツ的であり、かつ$C^{1+\text{H}\ddot{\i}lder}$であることを確立する。これは、Pugh–ShubおよびLedrappier–Young理論における重要な技術的ギャップを解消し、$C^{1+\beta}$微分同相写像においても、$C^2$写像と同一の条件下でエルゴディシティ結果およびエントロピー公式が成り立つことを確認する。これは、$C^2$仮定を超えてその有効性を拡張するものである。

ABSTRACT

Under a suitable bunching condition, we establish that stable holonomies inside center-stable manifolds for $C^{1+β}$ diffeomorphisms are uniformly bi-Lipschitz and in fact $C^{1+ ext{Hölder}}$. This verifies that the Pugh-Shub theory for ergodicity holds for suitably center-bunched, $C^{1+β}$, essentially accessible, partially hyperbolic diffeomorphism and verifies that the Ledrappier-Young entropy formulas hold for $C^{1+β}$ diffeomorphisms of compact manifolds.

研究の動機と目的

• 部分的双曲的微分同相写像に対するPugh–Shubのエルゴディシティ理論の$C^{1+\beta}$への拡張における技術的ギャップを埋めること。
• Ledrappier–Youngのエントロピー公式における$C^2$仮定を、中心不安定集合内でのホロノミーのリプシッツ連続性を確立することにより、$C^{1+\beta}$に弱めることが可能であることを検証すること。
• Burns–Wilkinson [BW2]の主要技術的結果の証明に誤りが発見されたため、それを是正・強化すること。
• LY1, LY2におけるエントロピー公式に必要な主要なホロノミー正則性が、適切なバンドリング条件下で$C^{1+\beta}$微分同相写像に対しても成り立つことを示すこと。
• Ledrappier–Youngのエントロピー公式およびPugh–Shubのエルゴディシティ結果の有効性を、$C^2$の場合と本質的に同一の条件で$C^{1+\beta}$動的系へと拡張すること。

提案手法

• バンドリング条件の下で線形コサイクルの精密な解析を通じて、中心安定多様体内での安定ホロノミーの$C^{1+\text{H}\ddot{\i}lder}$正則性を確立する。
• 局所的ダイナミクスの歪みを制御し、導関数の均一なホルダーおよびリプシッツ境界を保証するために、$(\epsilon, \ell)$-チャートの族を導入する。
• 微分同相写像$F_x$のグローバル化構成を用い、本質的な双曲的構造を保ちつつ、$C^{1+\beta}$正則性が制御された局所写像の拡張を可能にする。
• 局所写像$\tilde{f}_x$を、原点付近で線形に近い振る舞いを保ち、導関数のホルダーノルムが制御された$C^\infty$なグローバル微分同相写像$F_x$に拡張するための摂動法を適用する。
• 中心不安定集合内での不安定多様体に沿ったホロノミーのリプシッツ性が、$C^{1+\beta}$写像に対しても、$C^2$の場合と同一のバンドリング条件下で成り立つことを証明する。これは[LY1]において不可欠である。
• 抽象的設定で得られたホロノミー正則性が、直接的に[LY1]および[LY2]のダイナミクスに適用可能であることを検証し、$C^2$依存の推定を$C^{1+\beta}$に適したものに置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的双曲的微分同相写像に対するPugh–Shubのエルゴディシティ定理における$C^2$仮定は、同一のバンドリング条件下で$C^{1+\beta}$写像に対しても成立するか？
• RQ2 Ledrappier–Youngのエントロピー公式に用いられる主要なホロノミー正則性は、$C^{1+\beta}$微分同相写像に対しても確立可能であり、これによりエントロピー公式が$C^2$の枠を超えて拡張可能か？
• RQ3 Burns–Wilkinson [BW2]の主要技術的結果の証明は、より強いバンドリング条件下で是正可能であり、[BW1]と同一の結論を導くか？
• RQ4 中心不安定集合内での不安定ホロノミーのリプシッツ性は、[LY1]において不可欠であるが、適切なバンドリング条件下で$C^{1+\beta}$微分同相写像に対しても成り立つか？
• RQ5 $C^{1+\text{H}\ddot{\i}lder}$正則性を制御する一様なチャートに基づく構成により、中心安定多様体内での安定ホロノミーの$C^{1+\text{H}\ddot{\i}lder}$正則性を確立できるか？

主な発見

• 適切なバンドリング条件下で、$C^{1+\beta}$微分同相写像の中心安定多様体内での安定ホロノミーは、一様に双リプシッツ的であり、かつ$C^{1+\text{H}\ddot{\i}lder}$である。
• 本質的に可アクセスで、中心バンドリングが成り立つ$C^{1+\beta}$微分同相写像に対して、Pugh–Shubのエルゴディシティ定理における$C^2$仮定を$C^{1+\beta}$に弱めることが可能である。
• $C^2$微分同相写像に対して成り立つLedrappier–Youngのエントロピー公式は、同一のバンドリングおよび正則性条件下で$C^{1+\beta}$微分同相写像に対しても成り立つ。
• LY1で必要とされるホロノミー正則性—中心不安定集合内での不安定ホロノミーのリプシッツ性—は、$C^{1+\beta}$写像に対しても確立され、そのエントロピー公式の証明における核心的技術的ステップが正当化された。
• BW2の主要技術的結果の是正済み証明により、[BW1]の$C^2$エルゴディシティ結果が、当初の主張よりも強いバンドリング条件下で$C^{1+\beta}$微分同相写像に対しても成立することが確認された。
• $(\epsilon, \ell)$-チャートの構成において、導関数の$C^{1+\text{H}\ddot{\i}lder}$正則性を制御することで、局所チャート内でのダイナミクスがエントロピーおよびエルゴディシティ結果に必要な双曲的構造を保つことが保証された。