[論文レビュー] Smoothness, Semistability, and Toroidal Geometry

Dan Abramovich, A. J. de Jong|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 67

ひとこと要約

本稿では、特徴量がゼロの代数閉体上での特異点の解消に関するヒロナカの定理の新しい証明を提示する。この証明は、半安定還元とトロイダル幾何学を用い、ガロアの変更、トロイダル構造、および理想の吹き上げによる標準的解消を組み合わせることで、群作用と商構成に基づく幾何的に意味のある帰納的プロセスを通じて、厳密な正則交差除部分集合を達成する。

ABSTRACT

We provide a new proof of the following result: Let $X$ be a variety of finite type over an algebraically closed field $k$ of characteristic 0, let $Z\subset X$ be a proper closed subset. There exists a modification $f:X_1 ar X$, such that $X_1$ is a quasi-projective nonsingular variety and $Z_1 = f^{-1}(Z)_ ed$ is a strict divisor of normal crossings. Needless to say, this theorem is a weak version of Hironaka's well known theorem on resolution of singularities. Our proof has the feature that it builds on two standard techniques of algebraic geometry: semistable reduction for curves, and toric geometry. Another proof of the same result was discovered independently by F. Bogomolov and T. Pantev. The two proofs are similar in spirit but quite different in detail.

研究の動機と目的

• 代数閉体上で特徴量ゼロの代数的多様体について、ヒロナカの特異点解消定理の新しい、幾何的に動機づけられた証明を提供すること。
• ヒロナカの元々の帰納的技法に依存せずに、半安定還元とトロイダル幾何学を用いて解消が達成可能であることを示すこと。
• G-厳密なトロイダル埋め込みと商構成を用いて、標準的解消プロセスを確立すること。
• 特徴量pに対して証明が有効である範囲を制限する幾何的に意味のある関数Mを特定すること。
• 特に群作用と商特異点に関して、正の特徴量におけるこの手法の限界を検討すること。

提案手法

• 次元に関する帰納法を用い、問題を相対次元1の $\mathbb{P}^{d-1}$ 上の相対的ファイブレーションに還元する。
• Galois群Gを有する基底変更 $B \to \mathbb{P}^{d-1}$ を通じたGaloisの変更 $X' \to X$ を用いて半安定還元を適用し、判別式の分岐集合がG-厳密な正則交差除部分集合であることを保証する。
• G-作用をトロイダルにするために補助的吹き上げを実行し、$X'$ 上のG-作用がトロイダルになるようにする。これにより、商 $X'/G$ がトロイダルになる。
• 文献[KKMS]の定理11*を活用して、商 $X'/G \to X$ に対して標準的トロイダル特異点解消を適用し、非特異な修正を達成する。
• 形式的完成と値論を用いて、自己同型の下での零点の位数の不変性を示し、群の軌道全体にわたるトロイダル構造の一貫性を保証する。
• 解消が非標準的であるが、$X$ の滑らか領域内の曲線の近傍で滑らかさを保つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒロナカの元々の道具に依存せずに、半安定還元とトロイダル幾何学のみを用いて特異点解消を達成できるか？
• RQ2 特に正の特徴量において、G-可換なトロイダル埋め込みの商がトロイダルのままであるための条件は何か？
• RQ3 特徴量pに対して証明が有効である範囲を制限する幾何的に意味のある関数Mが存在するか？
• RQ4 有限群作用に関して、解消プロセスを可換にできるか、特に $p$ が $|G|$ を割る場合にどうか？
• RQ5 Galois群 $G$ の位数は、多様体の族における相対的 genus および除部分集合の次数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、特徴量ゼロにおいて、半安定還元とトロイダル幾何学を用いたヒロナカの特異点解消定理の新しい証明を確立する。
• 解消は非標準的であるが、$X$ の滑らか領域内の曲線の近傍で滑らかさを保ち、その曲線の上では局所的に同型を保つ。
• 補助的吹き上げの後、商 $X'/G$ はトロイダルになるため、文献[KKMS]の定理11*を用いて標準的トロイダル特異点解消を適用可能になる。
• 正の特徴量 $p$ において、証明は $p$ がGalois群 $G$ の位数を割る場合には失敗する。これは、単位的群作用がトロイダル商を妨げるためである。
• 任意の有界族において有界される幾何的に意味のある関数Mが存在し、$p > M([X \supset Z])$ であれば証明が成立する。これにより、この手法の有効範囲に対する特徴量依存の境界が得られる。