[論文レビュー] SO and USp Kahler and Hyper-Kahler Quotients and Lumps

Minoru Eto, Toshiaki Fujimori+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、直交的およびシミレクティックなゲージ代数を強制するためにラグランジュ乗数を用いたスーパーフィールド形式を用いて、$\mathcal{N}=1$ および $\mathcal{N}=2$ 超対称 $SO(N_{\rm C})$ および $USp(2M_{\rm C})$ ゲージ理論のヒッグス枝における明示的なケーラー・ポテンシャルおよび計量を構成する。曲率の式を導出し、標的空間内の特異的部分多様体に起因する、新たに発見されたラムプ特異性を特定し、ボルテックス・ラムプのモジュライ空間関係の理解を拡張する。

ABSTRACT

We study non-linear sigma models whose target spaces are the Higgs phases of supersymmetric SO and USp gauge theories by using the Kahler and hyper-Kahler quotient constructions. We obtain the explicit Kahler potentials and develop an expansion formula to make use of the obtained potentials from which we also calculate the curvatures of the manifolds. The 1/2 BPS lumps in the U(1) x SO and U(1) x USp Kahler quotients and their effective descriptions are also studied. In this connection, a general relation between moduli spaces of vortices and lumps is discussed. We find a new singular limit of the lumps with non-vanishing sizes in addition to the ordinary small lump singularity. The former is due to the existence of singular submanifolds in the target spaces.

研究の動機と目的

• 以前に一般に導出されていなかった、$\mathcal{N}=1$ および $\mathcal{N}=2$ 超対称 $SO(N_{\rm C})$ および $USp(2M_{\rm C})$ ゲージ理論のヒッグス枝におけるケーラー・ポテンシャルおよび計量を明示的に構成すること。
• $SO$ および $USp$ 群の $D$-項制約を解く困難を克服するため、ゲージ代数を $U(N_{\rm C})$ に緩和し、ラグランジュ乗数を用いて制約を課えるスーパーフィールドのテクニックを導入すること。
• 幾何的不変理論に内在する代数的制約を避けるために、導出したケーラー・ポテンシャルの展開により、曲率などの幾何的量を直接計算する方法を提供すること。
• $U(1)\times SO(N_{\rm C})$ および $U(1)\times USp(2M_{\rm C})$ モデルにおける 1/2 BPS ラムプを研究し、標的空間内の特異的部分多様体に起因する、非ゼロのサイズを有する新たな特異的極限のラムプを特定すること。
• これらの $SO$ および $USp$ ゲージ理論におけるボルテックスとラムプのモジュライ空間の一般的な関係を明確化すること、特にハイパーケーラー商構成の文脈において。

提案手法

• ゲージ群を複素化し、$\mathfrak{so}(N_{\rm C})$ および $\mathfrak{usp}(2M_{\rm C})$ への代数の制限をラグランジュ乗数スーパーフィールドを用いて行うことで、$SO(N_{\rm C})$ および $USp(2M_{\rm C})$ ゲージ群の $D$-項制約をスーパーフィールド形式で解く。
• チャイナルスーパーフィールドおよび全純的ゲージ不変量を用いて、明示的なケーラー・ポテンシャルを導出し、計量および曲率の直接計算を可能にする。
• $\mathcal{N}=2$ 非線形 $\sigma$-モデルの低エネルギーにおける標的空間幾何を、ハイパーケーラー商構成により得る。ヒッグス枝はハイパーケーラー多様体として与えられる。
• スカラー場 $\phi$ のべき級数に沿ってケーラー・ポテンシャルを展開し、$\phi = 0$ におけるリーマン曲率テンソルを計算する。これにより、$\mu_i'$ および $\varepsilon$ の有理関数としての明示的な曲率式が得られる。
• ゲージ対称性が部分的に回復するとき、モジュライ空間に特異性が生じることを確認し、曲率の発散によって裏付けられる。
• $U(1)\times SO(N_{\rm C})$ および $U(1)\times USp(2M_{\rm C})$ モデルにおける 1/2 BPS ラムプの分析により、標準的な小さなラムプ極限とは異なる、新たなタイプの特異性が明らかになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、スーパーフィールド形式において $SO(N_{\rm C})$ および $USp(2M_{\rm C})$ ゲージ群の $D$-項制約を明示的に解き、ヒッグス枝のケーラー・ポテンシャルを得ることができるか？
• RQ2 $U(1)\times SO(N_{\rm C})$ および $U(1)\times USp(2M_{\rm C})$ ゲージ理論のヒッグス枝におけるケーラー・ポテンシャルおよび計量の明示的形は何か？
• RQ3 モジュライ空間の原点における標的空間多様体の曲率は何か？また、質量パラメータおよび変形パラメータ $\varepsilon$ にどのように依存するか？
• RQ4 ラムプのモジュライ空間における特異性の性質は何か？標準的な小さなラムプ極限とはどのように異なるか？
• RQ5 これらの $SO$ および $USp$ ゲージ理論におけるボルテックスとラムプのモジュライ空間の一般的な関係は何か？

主な発見

• ラグランジュ乗数を用いたスーパーフィールド法により、$SO(N_{\rm C})$ および $USp(2M_{\rm C})$ ゲージ理論のヒッグス枝のケーラー・ポテンシャルを明示的に導出し、幾何的データへの直接的なアクセスを可能にする。
• $\phi = 0$ における標的空間の曲率を計算し、$\mu_i'$ および $\varepsilon$ の有理関数の和として表現する。明示的な発散は対称性の回復を示唆する。
• 新たに発見されたタイプのラムプ特異性：サイズの縮小とは異なり、標的空間幾何における特異的部分多様体に起因するものであり、標準的な小さなラムプ極限とは明確に異なる。
• 曲率式には $\mathcal{O}(\varepsilon^8)$ までの項が含まれており、$i,j,k$ インデックスの和を含む。これはハイパーケーラー多様体の非自明な構造を反映している。
• ボルテックスとラムプのモジュライ空間が、標的空間の幾何を通じて関係づけられ、新しい特異性は商多様体の内在的特異性に起因する。
• 本手法は、特殊な場合において既知の Lindström-Roček 計量を正確に再現し、ゲージ対称性が部分的に回復する際の特異性の出現を確認する。