[論文レビュー] Sobolev and BV spaces on metric measure spaces via derivations and integration by parts

Simone Di Marino|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Weaverの測度的微分を用いた部分積分を用いて、測度付き距離空間上のSobolev空間およびBV空間の新しい特徴付けを確立し、すべての主要な既存定義と同値であることを示している。導出に基づく弱勾配を導入し、分布的微分の全 Variation がさまざまな定式化において一致することを証明し、倍加条件やPoincaré条件を仮定しないで理論を統一している。

ABSTRACT

We develop a theory of BV and Sobolev Spaces via integration by parts formula in abstract metric spaces; the role of vector fields is played by Weaver's metric derivations. The definition hereby given is shown to be equivalent to many others present in literature.

研究の動機と目的

• 上昇勾配や緩和斜度に依存しない、導出を用いた部分積分に基づく一般の測度付き距離空間上のSobolev空間およびBV空間の理論を構築すること。
• 古典的Sobolev理論と現代の距離空間解析の間の溝を埋めるために、双対性と部分積分を用いて弱勾配を回復すること。
• 提案された導出に基づくSobolev空間およびBV空間の定義が、上昇勾配、緩和斜度、計画に基づく定義を含む、すべての主要な既存定式化と同値であることを示すこと。
• BV*、w-BV、および導出に基づくBV空間における全 Variation 測度 |Df| の同値性を確立すること。
• 倍加条件やPoincaré条件を仮定しない完備かつ分離可能な測度付き距離空間において理論が成り立つことを示すこと。

提案手法

• 論文は、f ∈ L^p が W^{1,p} に属するとは、任意の |b|, div b ∈ L^q を満たす導出 b に対して ∫ f · div b d𝔪 = -∫ L_f(b) d𝔪 を満たす線形汎関数 L_f が存在するときであると定義する。
• 点ごとの勾配 |∇f| を満たす微分 df: Der^{q,q} → L^1 を定義し、|df(b)| ≤ |∇f| · |b| almost everywhere を満たすようにする。
• Weaverの導出をベクトル場の一般化として用い、Leibniz則と弱局所性を活用して弱微分を定義する。
• 双対性と近似を用いて、導出に基づくSobolev空間と q-緩和斜度および最小 q-上昇勾配による標準的定義との同値性を確立する。
• BV空間については、すべての導出 b ∈ Der_L に対して ∫ f · div b d𝔪 ≤ ∫ |b|^* d|Df| を満たす |Df| を定義し、これがBV*空間およびw-BV空間における全 Variation と一致することを証明する。
• 同値性の証明は、∞-計画（曲線上の測度）と導出の対応関係に依拠し、Lipschitz関数が曲線に沿って定義された微分を持つことを利用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き距離空間上のSobolev空間は、上昇勾配や緩和斜度に代えて、導出を用いた部分積分による公式で定義可能か？
• RQ2 導出に基づく弱勾配の定義は、R^n における古典的勾配および測度付き距離空間における他の現代的定義と同値か？
• RQ3 導出を用いた部分積分によって定義された全 Variation 測度 |Df| は、BV*空間およびw-BV空間における全 Variation と一致するか？
• RQ4 導出フレームワークを用いて、BV*空間とw-BV空間の同値性が回復され、拡張可能か？
• RQ5 ∞-計画および曲線に基づく導出は、導出に基づくBV空間と計画に基づくBV定義を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 論文は、倍加条件やPoincaré条件を仮定しない状況下でも、導出に基づく W^{1,p} の定義が最小 q-上昇勾配および緩和斜度による標準的定義と同値であることを証明している。
• 導出上で定義された微分 df は、almost everywhere で |df(b)| ≤ |∇f| · |b| を満たす点ごとの勾配 |∇f| を与え、この |∇f| は既存の文献における最小弱上昇勾配と一致する。
• 導出を用いた部分積分によって定義された全 Variation 測度 |Df| は、|Df| ≤ |Df|_* および |Df|(X) ≥ |Df|_w(X) を満たし、すべての3つの定義で等しくなる。
• すべての f ∈ BV に対して |Df| = |Df|_* = |Df|_w が成立し、導出に基づくBV空間がBV*空間およびw-BV空間と一致することを示している。
• 導出と部分積分を用いる理論により、測度付き距離空間におけるSobolev空間およびBV空間の複数のアプローチが統一され、共通の基盤が提供されている。