[論文レビュー] Sobolev Metrics on Shape Space, II: Weighted Sobolev Metrics and Almost Local Metrics

Martin Bauer, Philipp Harms+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、体積に依存する重み関数 Φi(Vol(f)) を用いて、形状空間上の重み付きソボレフ計量を導入し、スケール不変性とほぼ局所的なリーマン計量を構築する。これらの計量の測地線方程式を導出し、適切な条件下で解の存在・一意性が保証されることを示し、測地線指数写像が局所微分同相写像であることを証明した。応用としては、リーマン多様体上の表面マッチングおよび形状解析が含まれる。

ABSTRACT

In continuation of [3] we discuss metrics of the form $$ G^P_f(h,k)=\int_M \sum_{i=0}^pΦ_i(\Vol(f)) \g((P_i)_fh,k) \vol(f^*\g) $$ on the space of immersions $\Imm(M,N)$ and on shape space $B_i(M,N)=\Imm(M,N)/\on{Diff}(M)$. Here $(N,\g)$ is a complete Riemannian manifold, $M$ is a compact manifold, $f:M o N$ is an immersion, $h$ and $k$ are tangent vectors to $f$ in the space of immersions, $f^*\g$ is the induced Riemannian metric on $M$, $\vol(f^*\g)$ is the induced volume density on $M$, $\Vol(f)=\int_M\vol(f^*\g)$, $Φ_i$ are positive real-valued functions, and $(P_i)_f$ are operators like some power of the Laplacian $Δ^{f^*\g}$. We derive the geodesic equations for these metrics and show that they are sometimes well-posed with the geodesic exponential mapping a local diffeomorphism. The new aspect here are the weights $\Ph_i(\Vol(f))$ which we use to construct scale invariant metrics and order 0 metrics with positive geodesic distance. We treat several concrete special cases in detail.

研究の動機と目的

• ソボレフ型計量における体積に依存する重みを用いて、形状空間上でのスケール不変リーマン計量を構築すること。
• 従来の形状空間上でのソボレフ計量に見られるスケール不変性の欠如を是正すること。
• 埋め込み空間上の重み付きソボレフ計量の測地線方程式の適切性を確立すること。
• 重み付き作用素を用いて、正の測地線距離を持つほぼ局所的計量を構築すること。
• 数値的および幾何的性質が向上した形状マッチングの一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 本稿では、体積の関数としての正の関数 Φi を用い、埋め込み空間 Imm(M,N) 上のリーマン計量を次のように定義する： G^P_f(h,k) = ∫_M ∑_{i=0}^p Φ_i(Vol(f)) · g̅((P_i)_f h, k) vol(f*ḡ)。
• 微分幾何学的道具を用いて、Imm(M,N) 上の曲線に沿った、引き戻し計量、逆計量、体積密度、および全容量の第一変分を計算する。
• 測地線方程式は、リーマン接続と変分原理を用いて導出され、接続にはラプラシアンおよび曲率項が含まれる。
• ベクトル値平均曲率の微分を解析し、法方向および接方向の変形におけるその変化を導出する。
• 重み関数および作用素に適切な条件が満たされれば、測地線指数写像が局所微分同相写像であることを証明する。
• 具体的な例を詳細に検討し、特に 0 階の計量およびスケール不変性を持つ計量を、Φ_i および P_i の特定の選択により検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きソボレフ計量を、形状空間上でスケール不変性を保ちつつ、適切な測地線方程式を持つように構築できるか？
• RQ2 体積に依存する重み関数 Φ_i(Vol(f)) は、測地線フローの幾何学的性質および正則性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 重み付きソボレフ計量に対して、測地線指数写像が局所微分同相写像であるための条件は何か？
• RQ4 このような重み付き作用素を用いて、正の測地線距離を持つほぼ局所的計量を構築できるか？
• RQ5 計量、体積、平均曲率の微分幾何学的変化は、測地線方程式にどのように寄与するか？

主な発見

• 重み付きソボレフ計量の測地線方程式は、重み関数および微分作用素に適切な条件下で適切に定義されており、測地線指数写像は局所微分同相写像である。
• 体積に依存する重み Φ_i(Vol(f)) の使用により、形状空間上でのスケール不変計量の構築が可能となり、従来のソボレフ計量の限界が解消された。
• 引き戻し計量、体積密度、全容量の第一変分に対する明示的公式が導出され、これらは測地線方程式の計算に不可欠である。
• ベクトル値平均曲率の微分が計算され、法方向の変化、曲率項、接方向成分に沿ったリー微分に依存することが示された。
• 具体的な例では、0 階の重み付き計量が正の測地線距離をもたらすことが示され、形状比較に適していることが明らかになった。
• 重みの選択により、計量構造における長距離相互作用を抑制することで、ほぼ局所的計量の構築が可能であることが本フレームワークによって可能となった。