[論文レビュー] Sobolev spaces adapted to the Schrödinger operator with inverse-square potential

Rowan Killip, Cong-rong Miao+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、逆二乗ポテンシャルを伴うシュレーディンガー作用素 $\mathcal{L}_a = -\Delta + a|x|^{-2}$ を用いて定義される $L^p$-Sobolev 空間が、標準ラプラシアン $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義されるものと一致するための条件を確立する。$0 < s < 2$ および $d \geq 3$ の下で、関連するリーマン変換および乗数定理が成り立つための $p$ の鋭利な範囲を特定する。そのために、特異ポテンシャルに適した熱核推定と Littlewood-Paley 理論を用いる。

ABSTRACT

We study the $L^p$-theory for the Schrödinger operator $\mathcal L_a$ with inverse-square potential $a|x|^{-2}$. Our main result describes when $L^p$-based Sobolev spaces defined in terms of the operator $(\mathcal L_a)^{s/2}$ agree with those defined via $(-Δ)^{s/2}$. We consider all regularities $0

研究の動機と目的

• $\mathcal{L}_a^{s/2}$ および $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義される $L^p$-Sobolev ノルムが同値となる $p$ の範囲を特定すること。
• $a \in \left[-(\frac{d-2}{2})^2, 0\right)$ のとき、$\mathcal{L}_a$ のスペクトル乗数の $L^p$-有界性を鋭く確立すること。この場合、熱核はガウス型の有界性を持たない。
• 逆二乗ポテンシャルに特化した、Littlewood-Paley 理論およびハイド型不等式を含む、自己完結的な調和解析枠組みを構築すること。
• エネルギー臨界 NLS に逆二乗ポテンシャルを含むような臨界分散型 PDE の研究のための基盤的ツールを提供すること。

提案手法

• ポテンシャル強度をパrameter化し、スペクトル的挙動を記述するための $\sigma = \frac{d-2}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{(d-2)^2 + 4a}$ の使用。
• $-(\frac{d-2}{2})^2 \leq a < 0$ の範囲で、$\mathcal{L}_a$ に対するミヒリン型乗数定理の証明。$\sigma$ および $d$ に依存する鋭い $L^p$ 範囲を得る。
• 熱核推定（定理 2.1）の適用により、原点付近および無限遠における $\mathcal{L}_a$ の挙動を制御する。
• $\mathcal{L}_a$ に適した dyadic 周波数射影 $\tilde{P}_N$ および $\tilde{P}_N^a$ の構成と、それらの $L^p$-有界性の比較。
• スハールの補題および重み付き推定（重み $|x|^{\pm \alpha}$ を用いて）により、$|\tilde{P}_N - \tilde{P}_N^a|$ の $L^p$ における差を制御する。
• Littlewood-Paley 理論および最大函数推定を用いて、$\||\nabla|^s f\|_{L^p}$ と $\|\mathcal{L}_a^{s/2} f\|_{L^p}$ を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{L}_a^{s/2}$ および $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義される $L^p$-Sobolev ノルムが同値となる $p$ はどれか？
• RQ2 $a < 0$ のとき、$\mathcal{L}_a$ のスペクトル乗数が $L^p$ 上で有界となる $p$ の鋭い範囲は何か？
• RQ3 逆二乗ポテンシャルが引き起こす特異性は、リーマン変換および Littlewood-Paley 射影の挙動にどのように影響するか？
• RQ4 $\mathcal{L}_a$ がスケール不変であるとはどのような意味か？ そして、これにより関連する Sobolev 空間の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 ガウス型熱核有界性が成立しない場合でも、Sobolev ノルムの同値性を確立することは可能か？

主な発見

• $\mathcal{L}_a^{s/2}$ および $(-\Delta)^{s/2}$ を用いて定義される $L^p$-Sobolev ノルムが同値であるための必要十分条件は、$\frac{s + \sigma}{d} < \frac{1}{p} < \min\left\{1, \frac{d - \sigma}{d}\right\}$ であり、$\sigma$ はポテンシャルパrameter $a$ によって定義される。
• $a \geq 0$ のとき、$\mathcal{L}_a$ に対するミヒリン乗数定理は $1 < p < \infty$ で成り立ち、$a < 0$ のときには $r_0 < p < r_0'$（$r_0 = \frac{d}{\sigma}$）で成り立ち、この範囲は鋭いものである。
• $a < 0$ のとき、$\mathcal{L}_a$ の熱核は原点で特異的であり、ガウス型有界性を満たさない。これにより、標準的な乗数理論が無効となり、新たな技術の導入が不可避となる。
• スハール型条件を満たすように選ばれた重み $|x|^{\pm \alpha}$ を用いた重み付き $L^p$ 推定により、スペクトル射影 $\tilde{P}_N$ と $\tilde{P}_N^a$ の差が制御される。
• $\mathcal{L}_a$ に関連するリーマン変換は、$\max\left\{\frac{s}{d}, \frac{\sigma}{d}\right\} < \frac{1}{p} < \min\left\{1, \frac{d - \sigma}{d}\right\}$ の範囲で $L^p$ 上で有界であり、Sobolev 同値性の範囲と一致する。
• Sobolev ノルムの同値性は、周波数射影の差を $|x| \gg |y|$、$|x| \ll |y|$、$|x| \sim |y|$ の3つの領域に分解し、それぞれ異なる推定とスハールの補題で制御することで確立される。