[論文レビュー] Sobolev spaces and mappings with bounded (P,Q)-distortion on Carnot groups

Alexander Ukhlov, S. K. Vodopyanov|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Carnot群上の有界$(p,q)$-歪みをもつ写像の基礎的解析的・幾何的性質を確立し、新しいクラスの$(p,q)$-準正則写像を導入する。Liouville型定理と容量に基づく例外的集合の除去可能性基準を証明し、Sobolev空間の技法と非線形ポテンシャル論を用いて、古典的準正則写像理論を部分リーマン幾何に拡張する。

ABSTRACT

We study mappings with bounded (p,q)-distortion associated to Sobolev spaces on Carnot groups. Mappings of such type have applications to the Sobolev type embedding theory and classification of manifolds. For this class of mappings, we obtain estimates of linear distortion, and a geometrical description. We prove also Liouville type theorems and give some sufficient conditions for removability of sets.

研究の動機と目的

• Carnot群上での有界$(p,q)$-歪み写像の理論を構築し、準正則写像理論を部分リーマン幾何に一般化すること。
• Sobolev空間における容量を用いた、例外的集合の除去可能性の十分条件を確立すること。
• Carnot群上での全空間に定義された有界$(p,q)$-歪み写像に対するLiouville型定理を証明すること。
• 準加法的モジュラスと歪み関数を用いた、$(p,q)$-準正則写像の幾何的特徴づけを提供すること。
• 水平微分作用素と変数変換公式を用いて、可積分歪みをもつSobolev写像理論を分層リーダイニの群へ拡張すること。

提案手法

• トポロジー的（開、離散、$\nabla$-条件）および解析的（Sobolev正則性、$p$-歪みの可積分性）基準を用いて、有界$(p,q)$-歪み写像を定義する。
• 歪み係数$K_{p,q}(f;\text{dom}) = \|K_p(f)\|_{L_\kappa(\text{dom})}$を導入し、$1/\kappa = 1/q - 1/p$を満たすことで、歪みの可積分性を保証する。
• 関数$u \in C_0 \cap W^1_p(\Omega)$に対して、変数変換公式を用いて領域間の関数ノルムを関連付ける、プッシュフォワード作用素$f_*u$を用いる。
• ホルダーの不等式と歪み係数を用いて、$f_*u$の$L_s$ノルム推定を確立し、$s = p/(p - (\nu - 1))$とする。
• 準加法的関数$\Phi$と歪み比$H_{p,q}(x,f)$を用いて、幾何学的に$(p,q)$-準正則写像を定義し、局所有界性を保証する。
• $(p,q)$-準正則写像が$\mathcal{N}$-性質を満たし、$\operatorname{ACL}$であることを証明し、ほとんど everywhere での微分可能性と変数変換恒等式の使用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Carnot群上での有界$(p,q)$-歪み写像が、容量がゼロである例外的集合に沿ってどのように拡張可能か。
• RQ2 領域内の閉集合$F$の除去可能性に関する、正確な容量論的条件は何か。
• RQ3 Liouville型定理は、Carnot群上での$(p,q)$-歪み写像にどのように一般化されるか、特に全空間に定義された写像に対して。
• RQ4 準加法的モジュラスと歪み比を用いて、$(p,q)$-準正則写像の幾何的特徴づけを定式化できるか。
• RQ5 $p$-歪みの$L_\kappa$-可積分性と水平微分の$L_s$-summabilityとの関係は何か。

主な発見

• Liouville型定理（定理A）は、$f: \mathbb{G} \to \mathbb{G}$が有界$(p,q)$-歪みをもち、$\nu-1 < q \leq p \leq \nu$を満たすならば、$W^1_s(\mathbb{G})$における$\mathbb{G} \setminus f(\mathbb{G})$の容量がゼロであると述べる。ここで$s = p/(p - (\nu - 1))$である。
• $p \geq q > \nu$のとき、$\operatorname{cap}(F; W^1_s(\mathbb{G})) = 0$（$s = p/(p - (\nu - 1))$）ならば、有界$(p,q)$-歪み写像$f: \Omega \setminus F \to \mathbb{G}$は、連続写像$\tilde{f}: \Omega \to \mathbb{G}$に拡張可能である。
• $p = q = \nu$の場合、$\operatorname{cap}(\mathbb{C}f(\Omega \setminus F); W^1_\nu(\mathbb{G})) > 0$ならば、$f$は連続写像$\tilde{f}: \Omega \to \mathbb{G} \cup \{\infty\}$に拡張可能である。
• 関数$u \in C_0 \cap W^1_p(\Omega)$に対して、プッシュフォワード作用素$f_*u$は、$\|f_*u\|_{L_s(f(D))} \leq \Lambda N(f,D)^{(s-1)/s} (K_{p,q}(f;D))^{\nu-1} \|u\|_{L_r(D)}$を満たす。ここで$s = p/(p - (\nu - 1))$、$r = q/(q - (\nu - 1))$である。
• 任意の$(p,q)$-準正則写像は、$H_{p,q}(x,f)$の有界性と歪み関数の可積分性により、有界$(p,q)$-歪み写像であることが示される。
• $p$-歪み$K_p(x,f)$は、$\inf\{k(x) : |D_H f|(x) \leq k(x) J(x,f)^{1/p}\}$として定義され、$1/\kappa = 1/q - 1/p$を満たす$L_\kappa$-可積分性が、本稿で考察される写像のクラスを特徴付ける。