[論文レビュー] Sobolev spaces on Lie manifolds and regularity for polyhedral domains

Bernd Ammann, Alexandru D. Ionescu+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2004

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 61被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、ℝ³における多面体領域ℙ上で強い強楕円型系の正則性理論を、重み付きソボレフ空間𝒦ᵐₐ(ℙ)を用いて確立し、係数が滑らかであれば正則性の損失がないことを示している。特異境界点（辺）の共形的吹き上げを用いて、これらの空間をリー多様体上のソボレフ空間に同定することで、コーナーを持つコンact化多様体上の擬微分作用素理論を用いて、古典的楕円型正則性理論を滑らかでない領域へと拡張している。

ABSTRACT

We study some basic analytic questions related to differential operators on Lie manifolds, which are manifolds whose large scale geometry can be described by a a Lie algebra of vector fields on a compactification. We extend to Lie manifolds several classical results on Sobolev spaces, elliptic regularity, and mapping properties of pseudodifferential operators. A tubular neighborhood theorem for Lie submanifolds allows us also to extend to regular open subsets of Lie manifolds the classical results on traces of functions in suitable Sobolev spaces. Our main application is a regularity result on polyhedral domains $\PP \subset \RR^3$ using the weighted Sobolev spaces $\Kond{m}a(\PP)$. In particular, we show that there is no loss of $\Kond{m}a$--regularity for solutions of strongly elliptic systems with smooth coefficients. For the proof, we identify $\Kond{m}a(\PP)$ with the Sobolev spaces on $\PP$ associated to the metric $r_{\PP}^{-2} g_E$, where $g_E$ is the Euclidean metric and $r_{\PP}(x)$ is a smoothing of the Euclidean distance from $x$ to the set of singular points of $\PP$. A suitable compactification of the interior of $\PP$ then becomes a regular open subset of a Lie manifold. We also obtain the well-posedness of a non-standard boundary value problem on a smooth, bounded domain with boundary $\maO \subset \RR^n$ using weighted Sobolev spaces, where the weight is the distance to the boundary.

研究の動機と目的

• 滑らかでない領域、特にℝ³における多面体領域において、楕円型偏微分方程式の正則性の損失を解消すること。
• 境界とコーナーを有するリー多様体へと、古典的ソボレフ空間理論および楕円型正則性理論を拡張すること。
• 幾何的コンパクト化を用いて、多面体領域上における重み付きソボレフ空間𝒦ᵐₐ(ℙ)の枠組みを確立すること。
• 係数が滑らかであれば、多面体領域ℙ⊂ℝ³上における強楕円型系の解が、𝒦ᵐₐ(ℙ)において完全な正則性を保つことを証明すること。
• 擬微分作用素のトレース定理および写像性質を、リー多様体の正則な開部分集合へと一般化すること。

提案手法

• 多面体領域ℙの内部をコンパクト化し、ユークリッド計量g_Eをr_ℙ⁻²g_Eに置き換える。ここでr_ℙは特異境界点（辺）への距離の滑らか化である。これにより、非コンパクトなリー多様体が得られる。
• 重み付きソボレフ空間𝒦ᵐₐ(ℙ)を、吹き上げられた計量を備えたこのリー多様体上の標準的ソボレフ空間に同定する。
• リー部分多様体のチューブ近傍定理を用いて、トレース定理および正則性結果をリー多様体の正則な開部分集合へと拡張する。
• 特に、リー多様体上の作用素代数Ψ_{1,0,𝒱}^m(M₀)を用いて、擬微分作用素理論を応用し、写像性質および正則性を分析する。
• 逆作用素を構成し、重み付きソボレフ空間上での擬微分作用素の有界性を用いて、正則性の転送を証明する。
• 双対性およびハーン＝バナッハの定理を活用して、リー多様体上のソボレフ空間の双対空間を特徴付け、ノルムの同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元における多面体領域において、境界が辺とコーナーを持つ場合に、古典的楕円型正則性理論を拡張できるか。
• RQ2 滑らかでない領域におけるソボレフ空間の正則性損失を排除する幾何的枠組みは存在するか。
• RQ3 多面体領域上における重み付きソボレフ空間𝒦ᵐₐ(ℙ)は、どのようにして特異集合（辺）の共形的吹き上げによって得られるリー多様体上の標準的ソボレフ空間として特徴付けられるか。
• RQ4 リー多様体構造は、特異境界を持つ領域における微分作用素の正則性理論を可能にする役割を果たすか。
• RQ5 境界を有するリー多様体へと、擬微分作用素の技法を適応させ、正則性およびトレース定理を証明できるか。

主な発見

• 多面体領域ℙ⊂ℝ³上における強楕円型系の解について、係数が滑らかであれば𝒦ᵐₐ正則性に損失は生じない。
• 重み付きソボレフ空間𝒦ᵐₐ(ℙ)は、特異集合（辺）の共形的吹き上げによって得られるリー多様体上の標準的ソボレフ空間に同型である。
• 空間𝒦ᵐₐ(ℙ)は、非コンパクトリー多様体(M₀, r_ℙ⁻²g_E)上のソボレフ空間W^{m,p}に同値であり、ここでr_ℙは特異境界点への距離の滑らか化である。
• クラスΨ_{1,0,𝒱}^m(M₀)に属する擬微分作用素は、重み付きソボレフ空間の間で有界に作用し、正則性転送の証明に寄与する。
• 任意の楕円型作用素P∈Ψ_{1,0,𝒱}^s(M₀)に対して、ノルム‖u‖_{L^p} + ‖Pu‖_{L^p}は、リー多様体上での標準的W^{s,p}ノルムと同値である。
• 滑らかで有界な領域上における非標準的境界値問題は、境界への距離を重みとする重み付きソボレフ空間を用いることで適切に定式化される。