[論文レビュー] Sobolev spaces on locally compact abelian groups

Przemysław Górka, Enríque G. Reyes|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、弱い部分加法的重みに基づくフーリエ解析的枠組みを用いて、任意の局所コンパクトなアーベル群上にソボレフ空間を導入し、ソボレフ埋め込み定理およびRellich-Kondrachovのコンパクト性定理の類似を確立する。主な貢献は、これらのソボレフ型空間における不動点法を用いて、コンパクトなアーベル群上で一般化されたユークリッド型ボソン的ストリング方程式の連続解の存在を証明することにある。

ABSTRACT

Motivated by a class of nonlinear equations of interest for string theory, we introduce Sobolev spaces on arbitrary locally compact abelian groups and we examine some of their properties. Specifically, we focus on analogs of the Sobolev embedding and Rellich- Kondrachov compactness theorems. As an application, we prove the existence of continuous solutions to a generalized euclidean bosonic string equation possed on an arbitrary compact abelian group.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間やリーマン多様体を超えて、任意の局所コンパクトなアーベル群へソボレフ空間理論を拡張すること。
• このような群上での非線形擬微分方程式を研究するための関数解析的枠組みを、フーリエ変換およびハール測度に基づいて構築すること。
• 古典的ソボレフ空間理論における類似結果としての埋め込み定理およびコンパクト性定理を確立すること。
• 発展した理論を応用して、コンパクトなアーベル群上での一般化された非線形ストリング方程式の連続解の存在を証明すること。
• トポロジカル群上の調和解析を用いて、物理理論における非局所場の方程式を厳密に解析的基盤で扱う基盤を提供すること。

提案手法

• 弱い部分加法的重みからなる集合 $ \Gamma $ に属する重み関数 $ \gamma \in \Gamma $ を用いて、局所コンパクトなアーベル群 $ G $ 上にソボレフ空間 $ H^s_\gamma(G) $ をフーリエ変換によって定義する。
• プランシュレの定理およびフーリエ逆変換を用いて、関数 $ f \in H^s_\gamma(G) $ のノルムを積分 $ \int_{G^\wedge} (1 + \gamma(\xi)^2)^s |\hat{f}(\xi)|^2 d\mu_{G^\wedge}(\xi) $ で特徴付ける。
• 重み関数 $ \gamma $ および双対群 $ G^\wedge $ に対して適切な条件下で、連続的埋め込み $ H^{c,\infty}(G) \hookrightarrow H^s_\gamma(G) \hookrightarrow L^{2\alpha}(G) $ を確立する。
• フーリエ乗数 $ \frac{1}{1 + \gamma(\xi)^2 e^{c\gamma(\xi)^2}} $ を用いて線形作用素 $ L_c $ を定義し、非局所作用素 $ \Delta e^{-c\Delta} $ の正則化逆作用素として機能させる。
• 非線形解写像 $ \mathcal{G} $ を構成し、$ L_c \tilde{u} = V(\cdot, u) $ を満たすものとし、$ V(x,u) = U(x,u) - u $ とする。その連続性およびコンパクト性を証明する。
• 閉かつ有界で凸な部分集合 $ Y_\epsilon \subset L^{2\alpha}(G) $ においてシュードラーの不動点定理を適用し、不動点、すなわち $ \phi \in \mathcal{H}^{c,\infty}(G) \cap C(G) $ の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和解析を用いて微分構造に依存しない形で、任意の局所コンパクトなアーベル群上にソボレフ空間を意味的に定義できるか？
• RQ2 古典的ソボレフ埋め込み定理およびRellich-Kondrachovのコンパクト性定理の類似が、この一般化された設定でも成り立つか？
• RQ3 一般化されたユークリッド型ボソン的ストリング方程式 $ \Delta e^{-c\Delta}\phi = U(x,\phi) $ は、コンパクトなアーベル群上の連続関数空間で解けるか？
• RQ4 非線形関数 $ U(x,\phi) $ および重み関数 $ \gamma $ にどのような条件を課すと、不動点法によって解の存在が保証されるか？
• RQ5 重み $ \gamma \in \Gamma $ の選択が、得られるソボレフ空間の正則性および埋め込み性にどのように影響するか？

主な発見

• 条件 $ (1 + \gamma(\cdot)^2)^{-1} \in L^\delta(G^\wedge) $ かつ $ \delta > 1 $ の下で、$ s \in (\delta - \delta/\alpha, \delta) $ に対して $ H^{c,\infty}(G) \hookrightarrow H^s_\gamma(G) \hookrightarrow L^{2\alpha}_{\mu_G}(G) $ が成り立つことが示された。
• フーリエ乗数 $ (1 + \gamma(\xi)^2 e^{c\gamma(\xi)^2})^{-1} $ で定義される線形作用素 $ L_c $ は有界であり、自明な核を持つ。また、$ \|u_g\|_{\mathcal{H}^{c,\infty}(G)} = \|g\|_{L^2_{\mu_G}(G)} $ が成り立つ。
• 関数 $ \|h\|_{L^2_{\mu_G}(G)} $ が小さいことおよび $ \frac{|\xi(h) - 1|}{(1 + \gamma(\xi)^2)^{\delta - \delta/\alpha}} \to 0 $ が $ G^\wedge $ 上で一様に成り立つという仮定の下で、非線形問題 $ \Delta e^{-c\Delta}\phi = U(x,\phi) $ は $ \phi \in \mathcal{H}^{c,\infty}(G) \cap C(G) $ の解をもつ。
• 解写像 $ \mathcal{G} $ はコンパクトかつ連続であり、これにより $ L^{2\alpha}_{\mu_G}(G) $ の空間でシュードラーの不動点定理を適用可能となる。
• $ s \in (\delta - \delta/\alpha, \delta) $ の下で、埋め込み $ H^s_\gamma(G) \hookrightarrow\hookrightarrow L^{2\alpha}_{\mu_G}(G) $ が成り立つ。これは不動点法におけるコンパクト性を保証する上で不可欠である。
• 理論は $ \mathbb{R}^n $ および $ \mathbb{T}^n $ 上の古典的ソボレフ空間を回復し、$ \gamma(\xi) = \|\xi\|_p $ のとき $ p $-進ソボレフ空間をも回復する。これにより、広範な適用可能性が示された。