[論文レビュー] Sobolev spaces on non-Lipschitz subsets of $\mathbb{R}^n$ with application to boundary integral equations on fractal screens

Simon N. Chandler‐Wilde, David P. Hewett+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℝⁿの非リプシッツ的集合、特にフラクタル的・粗い領域に対して、ヒルベルト＝ソボレフ空間の関数解析的枠組みを構築し、波動散乱問題における境界積分方程式（BIE）の厳密な解析を可能にする。主な貢献は、空間$;{H}^{1/2}(\Gamma)$と$H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$が一致する条件を確立し、境界がフラクタルである場合、近似スクリーン上のBIEの解が極限スクリーン上の解に収束しない可能性があることを示したことである。

ABSTRACT

We study properties of the classical fractional Sobolev spaces (or Bessel potential spaces) on non-Lipschitz subsets of $\mathbb{R}^n$. We investigate the extent to which the properties of these spaces, and the relations between them, that hold in the well-studied case of a Lipschitz open set, generalise to non-Lipschitz cases. Our motivation is to develop the functional analytic framework in which to formulate and analyse integral equations on non-Lipschitz sets. In particular we consider an application to boundary integral equations for wave scattering by planar screens that are non-Lipschitz, including cases where the screen is fractal or has fractal boundary.

研究の動機と目的

• ℝⁿの非リプシッツ的部分集合に対して、ソボレフ空間の厳密な関数解析的枠組みを確立すること。特に境界積分方程式への応用を想定する。
• 任意の開集合および閉集合における異なるソボレフ空間定義（例えば$H^s(\Omega)$、$;{H}^s(\Omega)$、$H^s_F$）の関係を明確化すること。
• ドメインがリプシッツ正則性を欠く場合に、ソボレフ空間定義の同値性に関する文献における曖昧さを解消すること。
• これらのソボレフ空間の双対空間のユニタリ的実現を提供し、BIEの変分定式化を支援すること。
• 非リプシッツ的ドメインにおいて、補間スケールが成立しないことを示し、マクリーンの標準的参考文献における誤った主張を是正すること。

提案手法

• 著者らは、フーリエ解析、双対性、制限技術を用いて、ℝⁿの任意の開集合および閉集合における古典的ヒルベルト＝ソボレフ空間を定義・分析する。
• 特に$s = -1/2$の場合に、分布の正則性を支えることができるかを決定するため、s-無限性（s-nullity）の概念を用い、ポテンシャル理論の結果を応用する。
• フラクタルスクリーン上の境界積分方程式の解を、リプシッツ的集合の有限個の和集合である集合列$\Gamma_j$による近似によって構成する。
• データ$g_j$が極限集合上で極限$g_\infty$に収束するという仮定の下で、解$\phi_j \in \u037E{H}^{1/2}(\Gamma_j)$が極限$\phi \in \u037E{H}^{1/2}(\Gamma)$に収束することを証明する。ここで$\Gamma = \bigcup_j \Gamma_j$である。
• この方法は、$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma) = \overline{\bigcup_j \u037E{H}^{1/2}(\Gamma_j)}$という性質に依拠しており、これによりソボレフ空間ノルムにおける収束が可能になる。
• 集合$G = \mathrm{int}(\overline{\Gamma}) \setminus \Gamma$を用いて、$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma)$と$H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$の違いを区別し、$\dim_H(G) > 1$であれば$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma) \subsetneqq H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非リプシッツ的集合$\Gamma$に対して、空間$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma)$と$H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$が一致する条件は何か？
• RQ2 スクリーンの列$\Gamma_j$による近似において、$\Gamma_j \to \Gamma^*$が測度およびハウスドルフ距離で収束するとき、近似スクリーン上のBIEの解が極限スクリーン$\Gamma^*$上の解に収束するか？
• RQ3 集合$G = \mathrm{int}(\overline{\Gamma}) \setminus \Gamma$のハウスドルフ次元が、恒等式$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma) = H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$の有効性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 ドメインがリプシッツ的でない場合、特に分数階数$s = 1/2$に対して、ソボレフ空間の補間性質が保たれるか？
• RQ5 非リプシッツ的$\Gamma$に対して、BIEの変分定式化を支援するため、$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma)$の双対空間を自然に実現する方法は何か？

主な発見

• シエルピンスキーの三角形$F$に対して、集合$G = \mathrm{int}(\overline{\Gamma}) \setminus \Gamma$のハウスドルフ次元は$\log 3 / \log 2 \approx 1.585 > 1$であり、これにより$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma) \subsetneqq H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$が成り立つ。
• 近似スクリーン$\Gamma_j$上のノイマン型BIEの解$\phi_j$は、$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma)$ノルムで極限$\phi$に収束するが、$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma) \subsetneqq H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$である場合には、この極限は$H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$上の解$\phi^*$と異なる場合がある。
• 穴のサイズがルベーグ測度で減少するスクリーン上の解の極限は、完全なスクリーン上の解に収束しない場合がある。これは、穴の測度が0に近づいても成り立つ。
• $G = \mathrm{int}(\overline{\Gamma}) \setminus \Gamma$が$-1/2$-無限性でない場合、すなわち$\dim_H(G) > 1$である場合、空間$\u037E{H}^{1/2}(\Gamma)$は$H^{1/2}_{\overline{\Gamma}}$よりも真に小さい。
• 非リプシッツ的ドメインでは、ソボレフ空間の補間性質が成立せず、マクリーンの書籍における主張とは逆である。したがって、粗い集合上では補間を用いてこれらの空間を信頼性高く定義することはできない。
• $\u037E{H}^{1/2}(\Gamma)$の双対空間は自然に$H^{-1/2}(\Gamma)$に同定され、近似列の収束においてもこの双対性が保たれる。これにより弱収束の議論が可能になる。