[論文レビュー] Sofic groups and profinite topology on free groups

Lev Glebsky, Luis Manuel Rivera Martinez|ArXiv.org|Sep 1, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、対称群上のハミング距離ではなく、有限群上の双不変距離を用いることで、ソフィック群の一般化として弱いソフィック群（w-sofic群）を導入する。主な貢献は、非w-sofic群の存在が、自由群における共役類の積の閉包がそれらが生成する正規部分群に含まれないという、準有限位相の性質と同値であることを示したことである。これは群論、準有限位相、およびソフィック性に関する一般化された予想を結びつける。

ABSTRACT

We give a definition of weakly sofic groups (w-sofic groups). Our definition is rather natural extension of the definition of sofic groups where instead of Hamming metric on symmetric groups we use general bi-invariant metrics on finite groups. The existence of non w-sofic groups is equivalent to some conjecture about profinite topology on free groups.

研究の動機と目的

• ソフィック群の一般化として、対称群上のハミング距離ではなく、任意の双不変距離を用いた有限群における$(\Phi,\epsilon,\alpha)$-準同型を用いて弱いソフィック群（w-sofic群）を定義・研究すること。
• 有限生成自由群におけるw-sofic群と準有限位相との関係を調査すること。
• 自由群における共役類の積が準有限位相で閉じているかどうかを検討すること。これは非w-sofic群の存在を決定する。
• このような積の準有限位相における非閉包性が、非w-sofic群の存在と同値であることを確立すること。
• 共役類の積と準有限閉包を用いて、自由群における正規部分群の有限分離可能性を特徴づけること。

提案手法

• 双不変距離を備えた有限群への$(\Phi,\epsilon,\alpha)$-準同型を用いて、w-sofic群を定義し、ソフィック群の定義を一般化する。
• 有限生成自由群$F$における準有限位相を用いる。ここで、ある集合が、有限群への準同型による分離可能性によって閉じている場合に閉じると定義する。
• 正規部分群$N \triangleleft F$が有限分離可能であることは、すべての$g_i \in N$に対して、共役類の積$[g_1]^F \cdots [g_k]^F$の準有限位相における閉包が$N$に含まれることと同値であることを証明する。
• 超有限群に内部的な双不変距離とその無限小近傍を導入し、非標準解析的手法を用いてw-soficityを特徴付ける。
• $F/N$がw-soficであることは、$\phi(N) \subseteq \mathcal{E}$かつ$\phi(F \setminus N) \cap \mathcal{E} = \emptyset$を満たす準同型$\phi: F \to H$が存在することと同値であることを用いる。ここで$\mathcal{E}$は、超有限群$H$における単位元の無限小近傍を表す。
• 有限群への準同型による準有限閉包の特徴づけを用いる：$x \in \overline{X}$であることは、すべてのsuch $\phi$に対して$\phi(x) \in \phi(X)$であることと同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非w-sofic群は存在するか？ もし存在するならば、自由群における準有限位相にどのような影響を与えるか？
• RQ2 自由群における共役類の積は、準有限位相で閉じているか？
• RQ3 自由群における共役類の積の閉包は、それらが生成する正規部分群に含まれるか？
• RQ4 共役類の積と準有限閉包を用いて、自由群における正規部分群の有限分離可能性を特徴づけられるか？
• RQ5 非w-sofic群の存在は、共役類の積が準有限位相で閉じていないことを示唆するか？

主な発見

• 非w-sofic群の存在は、ある有限生成自由群$F$と$g_1, \dots, g_k \in F$が存在し、$\overline{[g_1]^F \cdots [g_k]^F} \not\subseteq N(g_1, \dots, g_k)$を満たすことと同値である。ここで$N(g_1, \dots, g_k)$は$g_i$が生成する正規部分群である。
• 正規部分群$N \triangleleft F$が有限分離可能であることと、すべての$g_1, \dots, g_k \in N$に対して、共役類の積$[g_1]^F \cdots [g_k]^F$の準有限位相における閉包が$N$に含まれることとは同値である。
• 論文は、プロ-$p$位相において、2生成の自由群に属する$g_1, g_2$が存在し、$[g_1]^F [g_2]^F$が閉じていないこと、およびその閉包が$N(g_1, g_2)$に属さない要素を含むこと、を示している。これは、準有限位相でも同様の失敗が起こり得ることを示唆している。
• 論文は、$F/N$がw-soficであることと、有限群$H$への準同型$\phi: F \to H$が存在し、$\phi(N) \subseteq \mathcal{E}$かつ$\phi(F \setminus N) \cap \mathcal{E} = \emptyset$を満たすことと同値であることを証明している。ここで$\mathcal{E}$は、超有限群$H$における単位元の無限小近傍を表す。
• 有限群への準同型による準有限閉包の特徴づけを用いて、$x \in \overline{X}$であることと、すべての準同型$\phi$に対して$\phi(x) \in \phi(X)$であることとが同値であることを示した。
• 標準的なソフィック性の定義（$S_n$上のハミング距離を用いる）はw-soficityの特別な場合であり、したがってw-sofic群はソフィック群よりも厳密に大きいクラスを形成する。