[論文レビュー] Sofic representations of amenable groups

Gábor Elek, Endre Szabó|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意のアーベル的部分群を共有して生成される2つのソフィック群の自由被覆がソフィックであることを確立し、以前の単調タイル可能なアーベル的部分群に限る制限を撤廃した。さらに、有限生成群がアーベル的であることと、そのすべての忠実なソフィック表現が対称群の超積への同型類に関して同値であることとは同値であることを証明し、ソフィック性を用いたアーベル性の群論的特徴づけを提供した。

ABSTRACT

Using probabilistic methods, Collins and Dykema proved that the free product of two sofic groups amalgamated over a monotileably amenable subgroup is sofic as well. We show that the restriction is unnecessary; the free product of two sofic groups amalgamated over an arbitrary amenable subgroup is sofic. We also prove a group theoretical analogue of a result of Kenley Jung. A finitely generated group is amenable if and only if it has only one sofic representation up to conjugacy equivalence.

研究の動機と目的

• ソフィック群の自由被覆がアーベル的部分群を共有して生成される場合に、そのソフィック性が成り立つという結果において、単調タイル可能なアーベル的部分群に限る制限を撤廃すること。
• 同型類の観点から、ソフィック表現の同値性を用いたアーベル性の群論的特徴づけを確立すること。
• フォン・ノイマン代数の埋め込みとソフィック群の表現との類似性を拡張し、アーベル的群に対して同型類の一意性を示す結果を得ること。

提案手法

• 確率論的手法とソフィック近似技術を用いて、ケイリー群の有限グラフ近似を構成し、与えられた半径まで局所構造を保存する。
• 色付きグラフ間のr-同型を定義し、大きな辺部分集合上で部分的同型をとることで、グラフ列の比較を可能にする。
• 証明は超積構成と置換のランク関数を用いて、対称群の超積への忠実な埋め込みを定義する。
• アーベル的群のソフィック近似が超有限であることを用いて、非アーベル的群が同型なソフィック表現をもつと仮定した場合に矛盾を導く。
• 大きな部分グラフ上で同型をとることで、明示的な同型化写像をグラフ列間で構成し、超積において同型性を保証する。
• 非アーベル的群が正の等周的定数を持つことから、そのソフィック近似が超有限でないことを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソフィック群の自由被覆がアーベル的部分群を共有して生成される場合に、そのソフィック性が成り立つためには、単調タイル可能なアーベル的部分群に限る必要があるのか？
• RQ2 すべての忠実なソフィック表現が同型であることは、有限生成群のアーベル性を特徴づけることができるか？
• RQ3 ソフィック近似の超有限性と基礎群のアーベル性との関係は何か？
• RQ4 非アーベル的群のすべての忠実なソフィック表現は、同型でないのか？
• RQ5 群Σの超積構成と、ソフィック表現の分類との関係は何か？

主な発見

• 任意のアーベル的部分群を共有して生成される2つのソフィック群の自由被覆はソフィックであり、単調タイル性の制限は不要であることが確認された。
• 有限生成群がアーベル的であることと、そのすべての忠実なソフィック表現が対称群の超積への同型類に関して同値であることは同値である。
• 非アーベル的群のソフィック近似は超有限でない。これは、正の割合の辺を除去した後も、大きさが増加する成分が存在するためである。
• アーベル的群の場合、r-同型の意味でソフィック近似を一様に近づけることができ、超積における同型化要素の構成が可能になる。
• 非アーベル的群のソフィック近似が超有限でないことに起因し、非同型な忠実な埋め込みが存在することが示された。
• 証明により、ソフィック近似の文脈において、幾何的性質である超有限性と代数的性質であるアーベル性との強い関係が確立された。