[論文レビュー] Soficity, amenability, and dynamical entropy

David Kerr, Hanfeng Li|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、可解な可算離散群に対して、作用素代数的枠組みにより定義されたsofic測度エントロピーおよび位相エントロピー不変量が、任意のsofic近似列の選択に関係なく、それぞれ古典的対応物（Kolmogorov-SinaiエントロピーおよびBowenエントロピー）と一致することを確立する。証明は、sofic版のRokhlin補題と変分原理に依拠しており、測度的状況下でのBowenの先行結果を一般化し、soficエントロピーの新しい空間的定式化を提供する。

ABSTRACT

In a previous paper the authors developed an operator-algebraic approach to Lewis Bowen's sofic measure entropy that yields invariants for actions of countable sofic groups by homeomorphisms on a compact metrizable space and by measure-preserving transformations on a standard probability space. We show here that these measure and topological entropy invariants both coincide with their classical counterparts when the acting group is amenable.

研究の動機と目的

• 可解群に対してsofic測度エントロピーが、任意のsofic近似列に対して古典的Kolmogorov-Sinaiエントロピーと一致することを示す。
• 可解群の場合にsofic位相エントロピーが古典的位相エントロピーと一致することを証明する。
• 可解な設定における作用素代数的定式化と空間的定式化のsoficエントロピーの同値性を確立する。
• soficエントロピーの新しい空間的アプローチを用いて、可解群に対するBowenの結果を一般化する。
• 測度論的複雑性に依存しない、位相エントロピーの一致を直接証明する。

提案手法

• コンパクトな可分空間上の不変Borel測度を伴う力学系を用いて、soficエントロピーの空間的定式化を構築する。
• OrnsteinとWeissの構成を有限グラフおよびsofic近似に拡張した、sofic近似版のRokhlin補題を適用する。
• quasitilingおよび分割技術を用いて、sofic作用における有限集合上での測度近似を制御する。
• sofic位相エントロピーと測度エントロピーを結ぶ変分原理を用いる。これは古典的状況に類似している。
• sofic近似における基点の置換を用いて、$(\rho, \rho_\nu)$-分離集合を構成し、エントロピーの下界を評価する。
• Jewett-Krieger定理と古典的変分原理を用いて、エルゴード状況を既知の結果に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解群に対してsofic測度エントロピーは、任意のsofic近似列に対して古典的Kolmogorov-Sinaiエントロピーと一致するか？
• RQ2 作用する群が可解であるとき、sofic位相エントロピーは古典的位相エントロピーと一致するか？
• RQ3 可解群に対して、作用素代数的定義のsoficエントロピーは、空間的定式化と同値に定式化可能か？
• RQ4 可解群に対してsofic近似列の選択に依存しないsoficエントロピー不変量が成立するか？
• RQ5 quasitilingおよび有限近似内での測度分布を制御できるsofic Rokhlin補題を構成可能か？

主な発見

• 可解な可算離散群に対して、任意のsofic近似列に対してsofic測度エントロピーは、古典的Kolmogorov-Sinaiエントロピーと一致する。
• 群が可解であるとき、コンパクト可分空間上の連続作用に対してsofic位相エントロピーは古典的位相エントロピーと一致する。
• 可解な状況下で、soficエントロピーの空間的定式化は、著者らの先行研究[9]における作用素代数的定義と同値である。
• 所望のquasitiling被覆およびタイル中心集合を実現できるsofic Rokhlin補題が構成可能である。
• 特定の条件下でsofic測度エントロピーの下界が無限大であることが示され、系が適切に構造化されていない限りエントロピーが上界を持たないことが示唆される。
• この結果はエルゴード性の仮定なしに成立し、既存の文献における結果の範囲を拡張する。