[論文レビュー] Soft Cone Metric Spaces and Some Fixed Point Theorems

İsmet Altıntaş, Kemal Taşköprü|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Fixed Point Theorems Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、軟的要素を用いて、錐距離空間および軟的距離空間の一般化として、軟的錐距離空間を導入し、収束性およびコーシー列の性質を確立する。さまざまな条件下での収縮写像に対する不動点定理を証明し、特定の軟的定数制約（例：$ ilde{t} < \frac{1}{2}$ または $ ilde{t} + \tilde{r} < 1$）の下で、不動軟的要素の存在および一意性を示す。結果として、不確実性を扱える軟的構造を持つ設定への古典的不動点理論の拡張がなされる。

ABSTRACT

This paper is an introduction to soft cone metric spaces. We define the concept of soft cone metric via soft element, investigate soft converges in soft cone metric spaces and prove some fixed point theorems for contractive mappings on soft cone metric spaces.

研究の動機と目的

• 軟的集合論を用いて軟的要素による錐距離空間および軟的距離空間の一般化として、新たな数学的枠組み「軟的錐距離空間」を導入すること。
• 軟的錐距離空間における軟的収束性およびコーシー列を定義し、それらを考察すること。
• 完備な軟的錐距離空間における収縮写像に対する不動点定理を確立すること。
• 軟的集合論による不確実性およびパラメータ化された構造を含む設定に、古典的不動点理論を拡張すること。

提案手法

• 各パラメータ λ ∈ A が錐距離空間内の集合に写像される軟的要素を用いて、軟的錐距離空間を定義する。
• 錐距離空間におけるパラメータごとの収束を用いて、軟的錐距離空間における軟的収束およびコーシー列を導入する。
• 軟的実数および軟的ノルム公理を用いて、空間内の構造および順序関係を定義する。
• 軟的定数 $\tilde{t}$ および $\tilde{r}$ を含む収縮条件を適用し、例として $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}(d(T\tilde{x}, \tilde{x}) + d(T\tilde{y}, \tilde{y}))$ を用いる。
• 推移的列 $\{T^n\tilde{x}\}$ が $\tilde{s} = \tilde{t}/(1 - \tilde{t})$ を含む推定を用いて不動軟的要素に収束することを証明する。
• 空間の完備性および錐（閉性、正規性）の性質を用いて、$d(T\tilde{x}^*, \tilde{x}^*) = \Theta$ が成り立ち、したがって $T\tilde{x}^* = \tilde{x}^*$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、軟的集合論および軟的要素を用いて、錐距離空間を不確実性を組み込む形に一般化できるか？
• RQ2 軟的錐距離空間上の写像が、どのような収縮条件のもとで一意な不動軟的要素を持つのか？
• RQ3 軟的錐距離空間における収束性およびコーシー列は、古典的距離空間と比べてどのように振る舞うか？
• RQ4 軟的定数 $\tilde{t}$ および $\tilde{r}$ は、不動点の存在および一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 完備な軟的錐距離空間では、収縮条件 $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}(d(T\tilde{x}, \tilde{x}) + d(T\tilde{y}, \tilde{y}))$ が満たされ、$\bar{0} \leq \tilde{t} < \frac{1}{2}$ のとき、一意な不動軟的要素が存在する。
• 条件 $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}(d(T\tilde{x}, \tilde{y}) + d(T\tilde{y}, \tilde{x}))$ の下でも、同じ $\tilde{t}$ の制約のもとで一意な不動軟的要素が存在する。
• 条件 $d(T\tilde{x}, T\tilde{y}) \preceq \tilde{t}d(\tilde{x}, \tilde{y}) + \tilde{r}d(\tilde{y}, T\tilde{x})$ の下では、不動軟的要素が存在し、$\tilde{t} + \tilde{r} < \bar{1}$ のとき一意である。
• すべての3つの収縮ケースにおいて、反復列 $\{T^n\tilde{x}\}$ は、$\tilde{s} = \tilde{t}/(1 - \tilde{t})$ を含む幾何級数による推定を用いて、不動軟的要素に収束することが示された。
• 不動軟的要素の一意性は、収縮不等式および $\tilde{t}$ や $\tilde{t} + \tilde{r}$ の厳密性から、$d(\tilde{x}^*, \tilde{y}^*) = \Theta$ が導かれるためである。
• 証明は、空間の完備性および錐 $P$ の閉性に依拠しており、そうでない場合を仮定すると矛盾が生じることから、$d(T\tilde{x}^*, \tilde{x}^*) = \Theta$ が成り立つことを保証する。