[論文レビュー] Software for Exact Integration of Polynomials over Polyhedra

Jesús A. De Loera, Brandon Dutra+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本論文では、三角形分割および錐分解法を用いた凸多面体上の多項式の正確な積分を実行するC++ソフトウェア実装、LattE integraleを提示する。この手法により、単体および一般の多面体上での多項式関数の積分が多項式時間で計算可能となり、特に投票理論における多面体の正確な体積計算が可能となり、4名候補者の選挙では12.27%の確率が得られ、3名候補者の選挙では12.33%が確認された。これは、高次元の組合せ的問題において効率的でスケーラブルであることを示している。

ABSTRACT

We are interested in the fast computation of the exact value of integrals of polynomial functions over convex polyhedra. We present speed ups and extensions of the algorithms presented in previous work. We present the new software implementation and provide benchmark computations. The computation of integrals of polynomials over polyhedral regions has many applications; here we demonstrate our algorithmic tools solving a challenge from combinatorial voting theory.

研究の動機と目的

• 有理係数をもつ凸多面体領域上での多項式の積分を、高パフォーマンスかつ正確に計算するソフトウェアツールの開発。
• 従来の正確な積分アルゴリズムを拡張し、速度の向上と、三角形分割および錐分解法の両方のサポートを実現。
• 順位付け選挙および多数決選挙制度下での異なる選挙結果の確率を求める、組合せ的投票理論における困難な問題の解決。
• 4名および5名候補者の選挙から生じるような高次元多面体における正確な積分の実用的スケーラビリティの実証。
• Ehrhart理論および体積計算を活用した、準多項式の先頭係数を効率的に抽出する計算フレームワークの提供。

提案手法

• ソフトウェアは、多面体の三角形分割およびBrion–Lasserre–Lawrence–Varchenko理論に基づく符号付き錐分解という2つの主要な分解戦略を用いる。
• 指数積分恒等式から導かれた閉形式の公式を用いて、単体的錐上での線形形式の累乗の積分を計算する。
• 有理係数をもつ単体上での多項式の積分が、母関数および価値論を用いて多項式時間で計算可能であるという事実を活用する。
• 一般の多面体の場合、ソフトウェアは領域を単体または錐に分解し、各成分における積分を計算した後、包含除算法または符号付き分解則を用いて結果を統合する。
• 有理数演算を効率的に処理するデータ構造を採用し、線形不等式および等式による標準的な多面体形式での入力をサポートする。
• 主な最適化として、全準多項式列挙を避けるために、n=1における多面体の体積を直接計算することで、Ehrhart準多項式の先頭係数のみを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特に多面体がフル次元でない場合を含め、高次元空間において多項式の多面体上での正確な積分が、効率的に実行可能か。
• RQ2 正確な積分において、三角形分割と錐分解法は、速度および数値的安定性の観点でどのように比較されるか。
• RQ3 4名および5名候補者の大規模な有権者集団において、多数決選挙および順位付け選挙制度が異なる勝者をもたらす正確な確率は何か。
• RQ4 全列挙を避けて、準多項式の先頭係数を、全列挙を経ずに体積計算により直接計算できるか。
• RQ5 正確な積分ツールは、24変数以上を含む組合せ的投票理論の複雑な問題に、どの程度スケーリング可能か。

主な発見

• ソフトウェアLattE integraleは、n=1における4名候補者投票多面体の正確な体積を、2988379676768359 / 7552997065814637134660504411827077120000として正確に計算した。
• 錐分解を用いることで、ソフトウェアは4名候補者の選挙において、多数決および順位付け選挙制度下での異なる選挙結果の確率を1分未満で12.27%として計算した。
• 対応する多面体の体積を直接計算し、体積の商を適用することで、以前に計算済みの3名候補者選挙における12.33%の確率を確認した。
• 4名候補者ケースのEhrhart準多項式の先頭係数は、n=1における多面体の体積から直接抽出され、全準多項式列挙を回避した。
• 5名候補者の場合、多面体は120の変数を有するが、LRSによる1250万個の頂点の列挙は中止された。これは、この手法の現在の計算限界を超えることを示している。
• ソフトウェアは、特に高次元の投票多面体において、全準多項式列挙よりも体積計算による正確な積分がより効率的であることを示している。