[論文レビュー] Sojourn time in a $M^{[X]}/M/1$ Processor Sharing Queue with batch arrivals (II)

Fabrice Guillemin, Veronica Quintuna Rodriguez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2020

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、幾何分布に従うバッチサイズを仮定した $M^{[X]}/M/1$ プロセッサ共有キューにおけるバッチの滞在時間分布を導出する。無限次元線形微分方程式系としてモデル化されたシステムを、2変数の母関数に対する支配的偏微分方程式（PDE）に変換し、ラプラス変換と特徴曲線を用いてPDEを解くことで、最終的に滞在時間分布の積分表現とその尾部挙動が得られる。

ABSTRACT

For the $M^{[X]}/M/1$ processor Sharing queue with batch arrivals, the sojourn time $Ω$ of a batch is investigated. We first show that the distribution of $Ω$ can be generally obtained from an infinite linear differential system. When further assuming that the batch size has a geometric distribution with given parameter $q \in [0,1[$, this differential system is further analyzed by means of an associated bivariate generating function $(x,u,v) \mapsto E(x,u,v)$. Specifically, denoting by $s \mapsto E^*(s,u,v)$ the one-sided Laplace transform of $E(\cdot,u,v)$ and defining $$ Φ(s,u,v) = P(s,u) \, (1-v) \, F^*(s,u,uv), \quad 0 < \vert u \vert < 1, \, \vert v \vert < 1, $$ for some known polynomial $P(s,u)$ and where $$ F^*(s,u,v) = \frac{E^*(s,u,v)-E^*(s,q,v)}{u-q}, $$ we show that the function $Φ$ verifies an inhomogeneous linear partial differential equation (PDE) $$ \frac{\partial Φ}{\partial u} - \left [ \frac{u - q}{P(s,u)} ight ] v(1-v) \, \frac{\partial Φ}{\partial v} + \ell(s,u,v) = 0 $$ for given $s$, where the last term $\ell(s,u,v)$ involves both $E^*(s,q,v)$ and the first order derivative $\partial E^*(s,q,v)/\partial v$ at the boundary point $u = q$. Solving this PDE for $Φ$ via its characteristic curves and with the required analyticity properties eventually determines the one-sided Laplace transform $E^*$. By means of a Laplace inversion of this transform $E^*$, the distribution function of the sojourn time $Ω$ of a batch is then given in an integral form. The tail behavior of the distribution of sojourn time $Ω$ is finally derived.

研究の動機と目的

• バッチ到着を伴う $M^{[X]}/M/1$ プロセッサ共有キューにおける、バッチ全体の定常滞在時間 $\Omega$ の分布を同定すること。
• 既存文脈において $B > 1$ の場合に未解決であったバッチ滞在時間分布の導出により、研究ギャップを埋めること。
• バッチサイズが幾何分布に従うという仮定の下で、滞在時間分布の尾部挙動を分析すること。
• キューイングモデルに由来する無限次元系を解ける枠組みとして、母関数とラプラス変換に基づく手法を開発すること。

提案手法

• バッチ到着時のシステム内ジョブ数に基づいて、バッチの滞在時間分布を無限次元線形微分方程式系として定式化する。
• 条件付き滞在時間分布関数をシステム状態とバッチサイズで集約するため、2変数母関数 $E(x,u,v)$ を定義する。
• システムを、$E(x,u,v)$ の片側ラプラス変換 $E^*(s,u,v)$ に対する2階線形PDEに変換する。
• 境界値 $u = q$ における $E^*$ の値を含む、非同次線形PDEに還元するための補助関数 $F^*$ と $\Phi$ を導入する。
• 特徴曲線を用いて $\Phi$ のPDEを解き、非同次項に関する必要十分条件を課すことにより $u = 0$ での正則性を確保する。
• 超幾何関数の積分を含む三角行列線形系を介して $E^*(s,q,v)$ を決定し、逆ラプラス変換により分布を回復可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バッチ到着を伴う $M^{[X]}/M/1$ プロセッサ共有キューにおけるバッチの滞在時間 $\Omega$ の正確な分布は何か？
• RQ2 バッチ滞在時間分布の尾部挙動は、到着率 $\lambda$、サービスレート $\mu$、バッチサイズパラメータ $q$ などのシステムパラメータにどのように依存するか？
• RQ3 母関数とラプラス変換を用いることで、滞在時間を支配する無限次元系を解けるPDEに低減できるか？
• RQ4 バッチサイズの幾何分布が、滞在時間分布に対する明示的表現の導出を可能にする役割は何か？

主な発見

• 滞在時間分布は、境界条件を伴うPDEを解き、$E^*(s,u,v)$ のラプラス逆変換を施すことにより、積分形で得られる。
• $E^*(s,q,v)$ のラプラス変換は、ガウス超幾何関数の積分を含む三角行列線形系によって一意に定まる。
• 滞在時間分布の尾部挙動が導出され、大きな滞在時間における漸近的減衰率が明らかにされた。
• PDEの解の存在と一意性を保証するため、$u=0$ での正則性に関する必要十分条件が解法に不可欠である。
• $\Phi$ のPDEは特徴曲線を用いて解かれており、非同次項には $u=q$ における $E^*$ の境界値が含まれる。
• 本手法により、無限次元系が係数 $E_b^*(s,q)$ の有限次元線形系に低減され、変換の明示的計算が可能となった。