[論文レビュー] Sojourn times of Gaussian related random fields

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Probability and Risk Models被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ガウス関連確率場における滞在時間と最大値尾確率の間で、新しい逆漸近的関係を確立し、正確な滞在時間尾漸近を導出するための均一二重和法を導入する。最大値尾挙動が分かっている場合、滞在時間の漸近的挙動を正確に導出可能であることを証明しており、2次元ガウス確率場、カイ過程、定常ガウスキューイング過程の3つの分野で検証され、収束速度が明示的に得られ、一般化されたベルマン型定数が導入されている。

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic analysis of sojourn times of random fields with continuous sample paths. Under a very general framework we show that there is an interesting relationship between tail asymptotics of sojourn times and that of supremum. Moreover, we establish the uniform double-sum method to derive the tail asymptotics of sojourn times. In the literature, based on the pioneering research of S. Berman the sojourn times have been utilised to derive the tail asymptotics of supremum of Gaussian processes. In this paper we show that the opposite direction is even more fruitful, namely knowing the asymptotics of supremum o f random processes and fields (in particular Gaussian) it is possible to establish the asymptotics of their sojourn times. We illustrate our findings considering i) two dimensional Gaussian random fields, ii) chi-process generated by stationary Gaussian processes and iii) stationary Gaussian queueing processes.

研究の動機と目的

• ガウス関連確率場における滞在時間と最大値尾確率の間の逆漸近的関係を形式化すること。
• 先行する滞在時間の漸近的結果が存在しない多次元確率場（d ≥ 2）に対して、均一二重和法を発展させること。
• 条件付き滞在時間分布が非退化極限に収束する条件を確立し、正確な漸近的近似を可能にすること。
• 本手法の適用可能性を、2次元ガウス確率場、カイ過程、定常ガウスキューイング過程という3つの異なるクラスに広げること。
• 制限された滞在時間分布を特徴付ける一般化されたベルマン型定数の明示的表現を導出すること。

提案手法

• 連続実現路を有する確率場の滞在時間を分析するための均一二重和法を導入する。
• 滞在時間を、レベルuより上にあるエキursion集合のレベーグ測度として定義し、u → ∞におけるその尾挙動を検討する。
• 3つの主要な条件を確立する：(A1) 関連する集合への還元、(A2) 均一単和近似、および(A3) 二重和の無視可能性。
• 一般化されたベルマン型定数を用いて、滞在時間の極限分布を特徴付け、分数次元ブラウン運動の増分を含む積分表現によって導出する。
• 2次元GRFs、カイ過程、反射分数次元ブラウン運動という3つのクラスに本手法を適用し、一般条件下でA1–A3を検証する。
• 漸近展開と指数的バウンドを用いて尾確率を制御し、二重和項の収束を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス確率場の最大値の尾漸近が既知である場合、滞在時間の尾漸近を導出可能か？
• RQ2 u → ∞ のとき、条件付き滞在時間分布が非退化極限に収束する条件は何か？
• RQ3 均一二重和法は、多次元ガウス確率場（d ≥ 2）に対してどのように形式化され、適用可能か？
• RQ4 一般化されたベルマン型定数は、制限された滞在時間分布を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 最大値と滞在時間の漸近的関係は、定常またはガウス過程を超えてどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、滞在時間の尾漸近が最大値尾漸近に比例することを確立している：u → ∞ のとき ru(z) ∼ ¯F(z)pu であり、¯F(z) は条件付き滞在時間分布の極限を表す。
• 均一二重和法は、d ≥ 2 において正確な滞在時間漸近を導出できることを示しており、これは文献において以前に結果が得られていなかった分野である。
• 2次元ガウス確率場では、分数次元ブラウン運動の増分を含む一般化されたベルマン型定数によって、制限された滞在時間分布が特徴付けられる。
• カイ過程および反射分数次元ブラウン運動では、一般仮定の下でA1–A3が検証され、正確な滞在時間漸近が可能となる。
• 本手法により、滞在時間尾確率と最大値尾確率の比が、確定的極限 ¯F(z) に収束することが確認され、積分表現を用いて明示的表現が導出可能である。
• 二重和項の収束速度は指数的バウンドによって制御され、与えられた条件下で無視可能であることが保証される。