[論文レビュー] Solid-set functions and topological measures on locally compact spaces

Svetlana V. Butler|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所コンパクトかつ連結で局所連結な空間に対して、固体集合関数を用いて位相的測度を構成する手法を提示する。有界な固体集合上で定義された固体集合関数は、一意に位相的測度へ拡張可能であり、 genus 0 の一点コンパクト化を用いて、コンパクト空間の例から非コンパクト空間への構成的技法が提供される。

ABSTRACT

A topological measure on a locally compact space is a set function on open and closed subsets which is finitely additive on the collection of open and compact sets, inner regular on open sets, and outer regular on closed sets. Almost all works devoted to topological measures, corresponding non-linear functionals, and their applications deal with compact spaces. The present paper is one in a series that investigates topological measures and corresponding non-linear functionals on locally compact spaces. Here we examine solid and semi-solid sets on a locally compact space. We then give a method of constructing topological measures from solid-set functions on a locally compact, connected, locally connected space. The paper gives examples of finite and infinite topological measures on locally compact, non-compact spaces and presents an easy way to generate topological measures on spaces whose one-point compactification has genus 0 from existing examples of topological measures on compact spaces.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな局所コンパクト空間における位相的測度の完全で厳密な構成の欠如に対処すること。
• 連結かつコネクティッドな集合に依存する従来の手法の制限を克服し、自明な測度を生じさせる可能性を避けること。
• 局所コンパクト空間における固体集合関数から位相的測度への体系的な拡張法を開発すること。
• 既知のコンパクト空間上の例を用いて、$\mathbb{R}^n$ や半空間などの非コンパクト空間における位相的測度を実用的に生成する方法を提供すること。
• 位相的測度をコンパクトな固体集合に制限したものが、測度を一意に決定することを確立し、拡張の一意性を保証すること。

提案手法

• 固体集合を、補集合のすべての成分が非有界である連結集合として定義し、半固体集合を、補集合に有限個の成分を持つ連結集合として定義する。
• 有界な固体集合上で定義された非負の集合関数としての固体集合関数を導入し、有限加法性、単調性、および増大列における連続性を満たすものとする。
• 極限過程を用いて、有界な固体集合上の固体集合関数を、コンパクトで連結な半固体集合へ拡張する。
• 有限個の互いに素なコンパクトで連結な集合の和集合へ、有限加法性と連続性を用いてさらに拡張する。
• 得られた集合関数が、内部および外部正則性、および開集合およびコンパクト集合における有限加法性を満たす、空間全体における位相的測度であることを証明する。
• genus 0 の一点コンパクト化を用いて、コンパクト空間における既知の位相的測度を非コンパクト空間へ転送する。これには定理 64 を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトで非コンパクトな空間における位相的測度を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 （例：固体集合や半固体集合のような）集合の性質は、集合関数を位相的測度へうまく拡張可能にするためにどのような役割を果たすか？
• RQ3 コンパクト空間における位相的測度を、非コンパクトな局所コンパクト空間における位相的測度の生成に利用できるか？
• RQ4 なぜ、従来の連結およびコネクティッドな集合に基づく構成は、非コンパクトな設定では失敗するのか？
• RQ5 固体集合関数から位相的測度への拡張の一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• 局所コンパクトかつ連結で局所連結な空間において、有界な固体集合上で定義された固体集合関数は、空間全体に一意に位相的測度へ拡張可能である。
• 拡張プロセスは段階的に行われる：まずコンパクトで連結な半固体集合へ、次に互いに素なコンパクトで連結な集合の有限和集合へ、最後に完全な位相的測度へ。
• 本稿では、局所コンパクト空間における位相的測度が、有限加法性が $\mathscr{K}(X) \cup \mathscr{O}(X)$ で成り立っても、部分加法性を満たさないことがある反例を提示しており、それらが測度とは限らないことを示している。
• 定理 64 は、空間 $X$ が genus 0 の一点コンパクト化を持つならば、$")$ 上の固体集合関数が $X$ 上に制限され、それが一意に $X$ 上の位相的測度へ拡張可能であることを確立する。
• 例として、点に基づく関数を用いた $\mathbb{R}^n$ および $\mathbb{R}^2$ 上の有限位相的測度が挙げられ、Lebesgue 測度から導かれる $\mathbb{R}^n$ 上の無限位相的測度も存在する。
• 構築された位相的測度は、例 62 および 63 における部分加法性の失敗によって示されるように、測度とは限らない。これは、コンパクト集合および開集合において有限加法性を満たすが、一般には部分加法性を満たさないことを意味する。