[論文レビュー] Solitary waves and $N$-particle algorithms for a class of Euler-Poincaré equations

Roberto Camassa, Dongyang Kuang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない、円錐型のカーネルを有するEuler-Poincaré方程式のクラスに対してN粒子粒子アルゴリズムを開発し、特定の初期条件のもとで、このような系が完全可積分な2粒子力学を生じることを示している。研究では、得られる2次元波動力学が1次元の完全可積分な浅水域方程式に還元されることを明らかにしたが、同時に単一チャネル解においても2次元空間的依存性を維持しており、擬スペクトルEuler形式法との高精度な比較によって粒子法の妥当性が裏付けられている。

ABSTRACT

We study a class of partial differential equations (PDEs) in the family of the so-called Euler-Poincaré differential systems, with the aim of developing a foundation for numerical algorithms of their solutions. This requires particular attention to the mathematical properties of this system when the associated class of elliptic operators possesses non-smooth kernels. By casting the system in its Lagrangian (or characteristics) form, we first formulate a particles system algorithm in free space with homogeneous Dirichlet boundary conditions for the evolving fields. We next examine the deformation of the system when non-homogeneous "constant stream" boundary conditions are assumed. We show how this simple change at the boundary deeply affects the nature of the evolution, from hyperbolic-like to dispersive with a non-trivial dispersion relation, and examine the potentially regularizing properties of singular kernels offered by this deformation. From the particle algorithm viewpoint, kernel singularities affect the existence and uniqueness of solutions to the corresponding ordinary differential equations systems. We illustrate this with the case when the operator kernel assumes a conical shape over the spatial variables, and examine in detail two-particle dynamics under the resulting lack of Lipschitz-continuity. Curiously, we find that for the conically-shaped kernels the motion of the related two-dimensional waves can become completely integrable under appropriate initial data. This reduction projects the two-dimensional system to the one-dimensional completely integrable Shallow-Water equation [Camassa, R. and Holm, D. D., Phys. Rev. Lett., 71, 1961-1964, 1993], while retaining the full dependence on two spatial dimensions for the single channel solutions.

研究の動機と目的

• 滑らかでない楕円型作用素を有するEuler-Poincaré方程式のクラスを解くための基礎的数値アルゴリズムを確立すること。
• 非一様な「定常流れ」境界条件が、系の分散性および双曲型性に与える影響を調査すること。
• カーネルがLipschitz連続性を欠く場合に、N粒子ODE系における解の存在および一意性を分析すること。
• 円錐型カーネル下での2粒子力学の可積分性およびその波動構造への影響を調査すること。
• 滑らかでないカーネルに対して、粒子ベースのアルゴリズムと擬スペクトルEuler形式法の性能を比較すること。

提案手法

• PDEからN粒子有限次元ODE系を導出するために、系をラグランジュ的（特徴線）形式に再定式化する。
• 自由空間における均一なディリクレ境界条件のもとで粒子アルゴリズムを構築し、その後非一様な「定常流れ」境界条件へと拡張する。
• カーネルは円錐型と仮定され、これによりLipschitz連続性が欠け、ODE系における解の一意性に影響を与える。
• 2粒子力学はハミルトニアン力学を用いて分析され、ハミルトニアン H = c₁² + c₂² を用いて正面衝突の厳密解が導出された。
• 2粒子系における安定性および安定多様体の構造を分析するために、リャプノフ関数が構築された。
• 数値的妥当性は、6次精度ルンゲ・クッタ法を用い、相対距離および運動量の粒子アルゴリズム解を厳密解と比較することで検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない、円錐型のカーネルは、Euler-Poincaré方程式のN粒子ODE系における解の存在および一意性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 このような特異カーネルに従う2粒子力学は完全可積分となる可能性があるか？ もしそうならば、どのような初期条件のもとで？
• RQ3 非一様な「定常流れ」境界条件は、系の分散的性質と双曲型的性質にどのような影響を与えるか？
• RQ4 粒子アルゴリズムは、擬スペクトルEuler形式法と比較して、滑らかでないカーネルを有するPDEの解をどの程度正確にシミュレートできるか？
• RQ5 2次元波動力学が1次元の浅水域方程式に還元される際、単一チャネル解においても2次元空間的依存性が保持されるか？

主な発見

• 円錐型カーネルの下では、適切な初期条件のもとで2粒子系は完全可積分となり、双曲函数を用いて厳密解が表現可能である。
• γ = 4c² における正面衝突の厳密解は、q(t) = -2 log[sech(ct)] および p(t) = ±2c / tanh(ct) と与えられ、ソリトン的挙動を示す。
• 6次精度ルンゲ・クッタ法による数値解は、位置に関して2-norm誤差2.9506e-05、運動量に関して8.7397e-07の誤差を示し、厳密解と高精度で一致した。
• 2粒子系の安定多様体は z = √[(G_{b-1}(0) - G_{b-1}(q)) / (4H)] で与えられ、b = 3/2 のとき浅水域方程式の既知の形に簡略化される。
• 粒子アルゴリズムは高精度で動作し、標準的なODEの存在定理が適用できない滑らかでないカーネルに対しても、本手法が有効であることが示された。
• 非一様境界条件の下で、系は双曲型的性質から分散的性質へと遷移し、カーネル特異性から非自明な分散関係が生じた。