[論文レビュー] Solitary waves for nonlinear Schrödinger equation with derivative

Changxing Miao, Xingdong Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、構造解析と変分法を用いて、誘導非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）に対する孤立波の存在、一意性、および大域的適切性を確立する。$4\omega > c^2$ または $4\omega = c^2, c > 0$ のとき、孤立波は位相回転および空間的平行移動を除いて一意に存在するが、$4\omega \leq c^2$ かつ $c \leq 0$ または $4\omega < c^2$ のとき、非自明な孤立波は存在しない。初期データが不変集合 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ に属する場合、大域的解が存在することが示され、従来の結果を改善する。

ABSTRACT

In this paper, we characterize a family of solitary waves for NLS with derivative (DNLS) by the structue analysis and the variational argument. Since (DNLS) doesn't enjoy the Galilean invariance any more, the structure analysis here is closely related with the nontrivial momentum and shows the equivalence of nontrivial solutions between the quasilinear and the semilinear equations. Firstly, for the subcritical parameters $4ω&gt;c^2$ and the critical parameters $4ω=c^2, c&gt;0$, we show the existence and uniqueness of the solitary waves for (DNLS), up to the phase rotation and spatial translation symmetries. Secondly, for the critical parameters $4ω=c^2, c\leq 0$ and the supercritical parameters $4ω0$ or $4ω&gt;c^2$. On one hand, different with the scattering result for the $L^2$-critical NLS in \cite{Dod:NLS_sct}, the scattering result of (DNLS) doesn't hold for initial data in $\mathcal{K}^+_{ω,c}$ because of the existence of infinity many small solitary/traveling waves in $\mathcal{K}^+_{ω,c},$ with $4ω=c^2, c&gt;0$ or $4ω&gt;c^2$. On the other hand, our global result improves the global result in \cite{Wu-DNLS, Wu-DNLS2} (see Corollary ef{cor:gwp}).

研究の動機と目的

• ギャロア不変性を欠く状況下における誘導非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）の孤立波解を特徴づけること。
• 非自明な孤立波が存在するか、存在しないかのパrameter領域を特定すること。
• 変分法およびエネルギー法を用いて、初期データが不変集合 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ に属する場合に大域的解の存在を確立すること。
• $H^1(\mathbb{R})$ における従来のDNLSの大域的適切性結果を改善すること。

提案手法

• 運動量および対称性の考察を通じて、準線形形式と半線形形式の間の関係を明らかにするDNLS方程式の構造解析を行う。
• 質量および運動量の制約を課えたエネルギー汎関数に対して変分的議論を適用し、孤立波の形状を同定する。
• エネルギーおよび運動量の不等式に基づいて、解の挙動を制御するための不変集合 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ および $\mathcal{K}^{-}_{\omega,c}$ を定義する。
• 質量、運動量、エネルギーの保存則を用いて、時間にわたる $\dot{H}^1$-ノルムの一様有界性を証明する。
• 連続性および閉性の議論を用いて、$\Omega_{\omega,c}^{+} = I$ を示し、大域的解の存在を導く。
• 局所的適切性理論および $K_{\omega,c}$ 汎関数の一様有界性に依拠し、解を大域的に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DNLS方程式が非自明な孤立波解を有するパrameter条件は何か？
• RQ2 ギャロア不変性の欠如が、DNLSにおける孤立波の構造および分類にどのように影響するか？
• RQ3 無限に多くの小さな孤立波・移動波が存在するにもかかわらず、$\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ に属する初期データに対して大域的適切性を確立できるか？
• RQ4 ギャロア不変性が破れている状況下で、運動量が変分的特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ および $\mathcal{K}^{-}_{\omega,c}$ の不変集合は、DNLS解の長時間的ダイナミクスとどのように関係するか？

主な発見

• $4\omega > c^2$ または $4\omega = c^2, c > 0$ のとき、位相回転および空間的平行移動を除いて、一意に孤立波解が存在する。
• $4\omega = c^2, c \leq 0$ または $4\omega < c^2$ のとき、非自明な孤立波解は存在しない。
• $4\omega = c^2, c > 0$ または $4\omega > c^2$ のとき、集合 $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ はDNLSフローに関して不変であり、解の大域的存在を保証する。
• $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ に属する解の $\dot{H}^1$-ノルムは時間にわたって一様に有界であり、局所的適切性により大域的解の存在が示される。
• $\mathcal{K}^{+}_{\omega,c}$ においては、無限に多くの小さな孤立波／移動波の存在のため、DNLSの散乱結果は成立しない。
• 大域的適切性の結果は、[34, 35] における既存の結果を改善し、より広い初期データのクラスにまで拡張される。