[論文レビュー] Solitary waves in one-dimensional pre-stressed lattice and its continual analog

Vsevolod Vladimirov, Sergii Skurativskyi|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元のプレストレスがかかる砂だらけの鎖の連続的アナログにおいて、非常に局在的で安定した移動波であるコンパクトン解を調査する。多スケール漸近展開を用いて非線形偏微分方程式（PDE）を導出し、著者たちは明るいコンパクトンと暗いコンパクトンの両方の解を特定し、解析的および数値的手法を用いてその安定性を示し、衝突後も形状を保つことを示した。これは、離散的砂だらけ鎖で観測された力学的挙動とよく一致する。

ABSTRACT

One of the most interesting phenomena occuring in nonlinear media models is the existence of wave patterns, such as kinks, solitons, compactons, peakons and many others. There are known numerous nonlinear evolutionary PDEs, supporting soliton (multi-soliton) and compacton traveling wave (TW) solutions. Unfortunately, the vast majority of the models, with the exception of completely integrable ones, do not enable to analyze the properties of solitary waves interaction using only qualitative methods. Therefore it is instructive, when dealing with the non-integrable PDEs, to combine the qualitative treatment with numerical simulations. In this report we are going to present the results of studying compacton solutions in the continual models for granular pre-stressed chains. The model is shown to possess a pair of compacton TW solutions which are the bright and dark compactons. First we consider the stability properties of the compacton solutions and show that both the bright and the dark compactons pass the stability test. Next we analyze the dynamics of the compactons, simulating numerically the temporal evolution of a single compacton, a well as the interection of pairs of compactons, including bright-bright, dark-dark and bright-dark pairs. To be able to simulate the evolutin of interacting compactons, we have modified the numerical scheme built by J. de Frutos, M. A. Lopez-Marcos, and J. M. Sanz-Serna. Results of simulations are compared with that of evolution of corresponding impulse in the granular pre-stressed chain.

研究の動機と目的

• プレストレスがかかる1次元砂だらけ鎖から導出された連続的モデルにおけるコンパクトン解の存在と安定性を分析すること。
• 非可積分的PDEにおけるコンパクトンが、衝突後の形状保持といったソリトン様挙動を示すかどうかを調査すること。
• 連続的モデルにおけるコンパクトンの力学的挙動を、元の離散的砂だらけ鎖の数値的シミュレーションと比較すること。
• 離散的プレストレス系における局在的パルスの挙動を捉えるために、連続的近似の妥当性と精度を評価すること。

提案手法

• プレストレスがかかる砂だらけ鎖の離散的ODE系から、多スケール漸近展開と連続極限を用いて非線形PDEを導出すること。
• 形式的な多スケール分解を適用し、長時間スケールと短空間スケールを持つ、コンパクトン解を支持する修正されたPDEを導出すること。
• ハミルトニアン表現を構築し、変分原理を用いてコンパクトン解をラグランジアン汎関数の極値として同定すること。
• 文献[2, 7, 6]の手法を用いて安定性解析を実施し、時間経過とともに増大する摂動の有無を検証すること。
• de Frutos, López-Marcos, および Sanz-Sernaの手法に基づく修正された数値スキームを実装し、コンパクトンの進化および衝突をシミュレートすること。
• 同一の初期条件下で、連続的PDEの数値結果と、元の離散的砂だらけ鎖の直接的シミュレーションを比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プレストレスがかかる砂だらけ鎖の連続的アナログにおいて、コンパクトン解は存在するか？ その解析的形は何か？
• RQ2 導出されたコンパクトン解は、微小摂動に対して安定しており、伝搬中に形状を維持するか？
• RQ3 相互作用するコンパクトン（明るい-明るい、暗い-暗い、明るい-暗い）は、特に衝突後、どのように動的に振る舞うか？
• RQ4 連続的PDEモデルは、離散的砂だらけ鎖で観測された局在的パルスの力学的挙動をどの程度正確に再現できるか？
• RQ5 標準的なネステルェン方程式におけるコンパクトン解は安定性テストに失敗するが、なぜ多スケールで導出されたPDEでは安定なコンパクトンが得られるのか？

主な発見

• 多スケールで導出されたPDEは、明るいコンパクトンと暗いコンパクトンのペアの解を支持しており、両者とも安定性テストに合格している。
• 数値的シミュレーションにより、単一のコンパクトンおよび相互作用するペア（明るい-明るい、暗い-暗い、明るい-暗い）が衝突後、完全に元の形状を回復することが示された。
• 物理空間におけるコンパクトン解の幅は、n = 3/2（ヘルツ接触）の場合、Δx ≈ 4.96a であり、実験的および数値的結果と整合的である。
• 直接的な数値的シミュレーションの比較により、連続的モデルが離散的砂だらけ鎖における局在的パルスの力学的挙動を正確に再現していることが確認された。
• 標準的なネステルェン方程式におけるコンパクトン解は不安定であるが、多スケール解析から導出された修正PDEでは安定なコンパクトンが得られる。
• 数値スキームがコンパクトン相互作用のシミュレーションに適切に適合され、衝突力学の詳細な解析が可能になった。