[論文レビュー] Soliton and Periodic solutions of the Short Pulse Model Equation

Yoshimasa Matsuno|ArXiv.org|Dec 14, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形媒体内の超短パルスをモデル化する短パルス（SP）方程式の正確なソリトン解および周期的解を導出するための新規な解析的手法を提示する。ホドグラフ変換を用いてSP方程式を可積分なサイン・ゴルドン（sG）方程式に写像することで、著者らはマルチソリトン解（多ループソリトンおよびマルチブレザーを含む）および1相および2相の周期的解を、テータ関数および双線形形式を用いて構成し、それらの相互作用ダイナミクスと長波長極限を明らかにする。

ABSTRACT

The short pulse (SP) equation is a novel model equation describing the propagation of ultra-short optical pulses in nonlinear media. This article reviews some recent results about the SP equation. In particular, we focus our attention on its exact solutions. By using a newly developed method of solution, we derive multisoliton solutions as well as 1-and 2-phase periodic solutions and investigate their properties.

研究の動機と目的

• 非線形媒体内の超短パルスをモデル化する短パルス（SP）方程式の正確な解を構成するための新しい解析的手法を開発すること。
• 非線形シュレーディンガー方程式と比較して、SP方程式の正確な解法技術が不足しているという問題に取り組むこと。
• マルチソリトン解および周期的解（それらの相互作用ダイナミクスおよび極限挙動を含む）を導出すること。
• 長波長極限を超えて、双線形形式およびテータ関数を用いて高次相解の構成を拡張すること。

提案手法

• SP方程式を可積分なサイン・ゴルドン（sG）方程式に写像するホドグラフ変換を適用し、既知のsG手法を用いた解の構成を可能にする。
• τ関数および双線形形式を用いて、sG変数からSP座標への逆写像を表現する。特にソリトン解に対して有効である。
• 1相および2相解に対して特別なアンザッツを用い、sG方程式を扱いやすい常微分方程式または偏微分方程式に簡略化する。
• ヤコビの楕円関数およびテータ関数を用いて、1相および2相解を明示的に表現し、可解性条件によってパラメータを決定する。
• 解の周期性および可解性を満たすために、解のパラメータ（例：式6.46）を決定する超越方程式（例：式6.46）を導出する。
• 位相変数における可分形を可能にする代数的条件（例：式6.39）を用いて、2相解の体系的導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非標準的な形をとる短パルス方程式の正確なソリトン解および周期的解を、その非標準的形を考慮しても体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 ホドグラフ変換は、SP方程式と可積分なサイン・ゴルドン方程式をどのように結びつけるか？
• RQ3 τ関数形式からどのようにしてマルチループソリトン解およびマルチブレザー解が出現し、それらの相互作用ダイナミクスはどのようなものか？
• RQ4 2相周期的解の構造は何か？また、長波長極限および1相解とはどのように関係しているか？
• RQ5 双線形形式は、主たる導出で用いられた特別なアンザッツを超えて、一般のN相解のクラスを構成するために拡張可能か？

主な発見

• SP方程式はホドグラフ変換によってサイン・ゴルドン方程式に写像され、既存の可積分系の技術の適用が可能になる。
• マルチソリトン解（多ループソリトンおよびマルチブレザーを含む）は、τ関数を用いて明示的に構成され、それらの相互作用ダイナミクスが完全に記述されている。
• 1相解の場合、sG方程式は楕円関数を用いて解ける常微分方程式に簡略化され、明示的な周期的解およびソリトン型解が得られる。
• 2相解の場合、特別なアンザッツにより位相変数における可分形が得られ、テータ関数の可解性条件を用いた解の構成が可能になる。
• 解のパラメータを決定する超越方程式（式6.46）が導出され、$q_+$と$q_-$は比 $ heta_2^4(0,q_+^2) = \beta \theta_2^4(0,q_-^2)$ によって関連付けられる。ここで $eta = \big((k_1-k_2)/(k_1+k_2)\big)^2$ である。
• 双線形形式のアプローチにより、アンザッツに基づく手法よりも広い2相解のクラスが構成可能であり、一般のN相解への道筋が示唆されるが、$N \to 3$ の構成は依然として困難である。