[論文レビュー] Soliton equations and the Riemann-Schottky problem

M Krichever Igor, T Schiota|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、分解不能な principally polarized abelian variety (ppav) が Jacobian であるための必要十分条件として、その Kummer 多様体が三重点線をもつことであることを証明しており、ソリトン方程式を用いたJacobiansの最も強力な既知の特徴付けを提供する。さらに、長年の特徴付け問題であるPrym多様体についても解決し、KP方程式のような可積分系に内在する深い代数幾何的構造を明らかにする。

ABSTRACT

Novikov's conjecture on the Riemann-Schottky problem: {\it the Jacobians of smooth algebraic curves are precisely those indecomposable principally polarized abelian varieties (ppavs) whose theta-functions provide solutions to the Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation}, was the first evidence of nowadays well-established fact: connections between the algebraic geometry and the modern theory of integrable systems is beneficial for both sides. The purpose of this paper is twofold. Our first goal is to present a proof of the strongest known characterization of a Jacobian variety in this direction: {\it an indecomposable ppav $X$ is the Jacobian of a curve if and only if its Kummer variety $K(X)$ has a trisecant line} and the solution of the characterization problem of principally polarized Prym varieties. The latter problem is almost as old and famous as the Riemann-Schottky problem but is much harder. In some sense the Prym varieties may be geometrically the easiest-to-understand ppavs beyond Jacobians, and studying them may be a first step towards understanding the geometry of more general abelian varieties as well. Our second and primary objective is to take this opportunity to elaborate on motivations underlining the proposed solution of the Riemann-Schottky problem, to introduce a certain circle of ideas and methods, developed in the theory of soliton equations, and to convince the reader that they are algebro-geometric in nature, simple and universal enough to be included in the Handbook of moduli.

研究の動機と目的

• ppavのKummer多様体の幾何と三重点線を用いたJacobiansの明確な特徴付けを確立すること。
• Jacobiansを超えるアーベル多様体を理解する上で中心的役割を果たす、 principally polarized Prym多様体を特徴付ける長年の問題を解くこと。
• ソリトン理論、特にKP方程式の解が本質的に代数幾何的性質を有することを示すこと。
• KP方程式の解がJacobiansのtheta関数に正確に対応することを示し、可積分系の理論と代数幾何学を統合すること。
• これらの手法が普遍的かつ基礎的意義を有することから、『Moduliのハンドブック』への組み込みを提唱すること。

提案手法

• ppavのtheta関数によるKP方程式の解を用い、その幾何的性質を分析する。
• ppavのうちJacobiansを同定する基準として、K(X)の三重点線条件を適用する。
• theta特性や線型系統を含む代数幾何的技法を用い、三重点線の存在を分析する。
• ソリトン理論の手法をアーベル多様体の幾何に適応し、特定の二重線形関係の消滅に注目する。
• Jacobiansの解析をPrym多様体へと拡張し、類似した幾何的・解析的条件を同定する。
• KP方程式の解がppavのtheta関数から生じることを活用し、多様体の幾何的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kummer多様体における三重点線の存在という幾何的条件によって、Jacobiansの分岐集合を特徴付けられるか？
• RQ2 Prym多様体をすべてのppavから区別する明確な代数幾何的条件は何か？
• RQ3 KP方程式の解は、アーベル多様体のtheta関数とどのように関係するか？
• RQ4 ソリトン理論の手法が、解析的性質を越えて、本質的に代数幾何的であるとされる程度はどの程度か？
• RQ5 三重点線によるJacobiansの特徴付けは、モジュライ理論における普遍的基準として用いられるか？

主な発見

• 分解不能なppav X がJacobiansであるための必要十分条件は、そのKummer多様体K(X)が三重点線をもつことである。
• 三重点線条件によるRiemann-Schottky問題の解決は、この文脈におけるJacobiansの特徴付けとして、これまでで最も強いものである。
• Prym多様体の特徴付けは、類似した幾何的・解析的条件を用いて達成され、元のRiemann-Schottky問題と同程度に古く、困難な問題を解決した。
• KP方程式の解は、まさにJacobiansのtheta関数から生じ、可積分系と代数幾何学との間に深い結びつきを示している。
• 用いられた手法は、ソリトン理論に根ざしているが、本質的に代数幾何的であることが示され、普遍的かつハンドブックに適している。
• 本論文は、KP方程式の解が、特にK(X)における三重点線条件を通じて、アーベル多様体の幾何的データを符号化していることを示している。