[論文レビュー] Soliton solutions of an integrable nonlocal modified Korteweg-de Vries equation through inverse scattering transform

Jia-Liang Ji, Zuo-Nong Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、逆散乱変換（IST）を用いて、可積分な非局所 mKdV 方程式の正確なソリトンおよびブレーター解を提示する。一粒子ソリトン、二粒子ソリトン、ブレーター解を導出し、指数関数的増幅の増加または減衰、位相シフトといった、古典的 mKdV 解とは異なる特徴的な性質を明らかにする。特に、非局所 PT 対称的還元において顕著である。

ABSTRACT

It is well known that the nonlinear Schrödinger (NLS) equation is a very important integrable equation. Ablowitz and Musslimani introduced and investigated an integrable nonlocal NLS equation through inverse scattering transform. Very recently, we proposed an integrable nonlocal modified Korteweg-de Vries equation (mKdV) which can also be found in a paper of Ablowitz and Musslimani. We have constructed the Darboux transformation and soliton solutions for the nonlocal mKdV equation. In this paper, we will investigate further the nonlocal mKdV equation. We will give its exact solutions including soliton and breather through inverse scattering transformation. These solutions have some new properties, which are different from the ones of the mKdV equation.

研究の動機と目的

• 逆散乱変換（IST）を用いて非局所 mKdV 方程式を調査し、ダーボウ変換に関する先行研究を拡張する。
• 非局所 PT 対称性を有する非局所 mKdV 方程式に対して、正確な解（ソリトンおよびブレーターを含む）を導出する。
• 解の長時間挙動および特異点構造を分析し、古典的 mKdV 方程式との差異を強調する。
• 非局所 mKdV 方程式が、古典的ケースとは異なり、指数関数的増幅の増加または減衰を示すソリトン解を支持することを示す。
• Wronskian の恒等式およびスペクトルデータの関係を導出することを含め、IST を用いた解の体系的構成を提供する。

提案手法

• スペクトルパラメータ $k$ を含む $2\times2$ 行列系を用いて、非局所 mKdV 方程式の Lax 対を定式化し、$\sigma_3$、$\mathbf{Q}$、および補助行列 $\mathbf{V}_1$、$\mathbf{V}_2$ を含む。
• Jost 解 $\phi$、$\bar{\phi}$、$\psi$、$\bar{\psi}$ を定義し、$x \to \pm\infty$ における特定の漸近的挙動を満たすことで、逆散乱変換を適用する。
• Wronskian の関係およびスペクトルの対称性を用いて、散乱データ $a(k)$、$b(k)$ およびそれらの複素共役を導出する。
• ポテンシャル $q(x,t)$ を散乱データから再構成するため、Gelfand–Levitan–Marchenko 積分方程式を構築する。
• 非局所還元 $r(x,t) = -q(-x,-t)$ を課すことにより、Lax 対系から非局所 mKdV 方程式を回復する。
• 逆問題を解き、$x$ および $t$ の指数関数および双曲・三角関数で表される一粒子ソリトン、二粒子ソリトン、ブレーター解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所 mKdV 方程式のソリトン解は、古典的 mKdV 方程式のそれらとどのように挙動が異なるか？
• RQ2 非局所 PT 対称的還元下でのソリトン解の長時間漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 非局所 mKdV 方程式の解に特異点が現れる条件は何か？
• RQ4 非局所 mKdV 方程式に対してブレーター解を構成可能か？また、その構造的性質は何か？
• RQ5 逆散乱変換は、非局所還元を有する非局所可積分系にどのように適用可能か？

主な発見

• 一粒子ソリトン解は、$\alpha - \beta$ の符号に応じて指数関数的増幅の減衰または増加を示す。$\alpha < \beta$ のとき減衰し、$\alpha > \beta$ のとき増幅する。
• 明るい-明るい型の二粒子ソリトン解では、振幅の進化が非対称である：パラメータ $\alpha_j$、$\beta_j$ に応じて、一方のソリトンは指数関数的に増幅し、他方は減衰する。
• 明るい-暗いソリトンの場合、両方のソリトンが指数関数的に増幅または減衰するが、衝突時には位相シフトが生じるが、速度の変化はない。
• ブレーター解は、特定の対称性条件 $k_1 = -k_2^*$ および $\bar{k}_1 = -\bar{k}_2^*$ を満たす場合にのみ存在する。特に $\eta_1 = \eta_2 = \zeta_1 = \zeta_2 = \mu$ の特殊ケースでは、周期的かつ局在的なブレーターが得られる。
• ブレーター解は明示的に $q(x,t) = 4\mu \frac{\sinh(\xi_+ among \sin(\xi_-) - \cosh(\xi_+)\cos(\xi_-)}{\cosh^2(\xi_+) + \sin^2(\xi_-)}$ で与えられ、$\xi_\pm = -2\mu(x \pm 8\mu^2 t)$ である。空間的・時間的周期的振動を示す。
• ブレーター解では、$\eta_1 \neq \eta_2$ または $\zeta_1 \neq \zeta_2$ の場合に解は特異点を示すが、対称的なパラメータ選択下では正則のままである。