[論文レビュー] Soliton-type metrics and Kähler-Ricci flow on symplectic quotients

Gabriele La Nave, Gang Tian|ArXiv.org|Mar 13, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、ケーラー＝アインシュタインおよびケーラー＝リッチソリトンの一般化としてV-ソリトン計量を導入し、シンプレクティック商上のケーラー＝リッチフローとトーラス bundle の全空間上の楕円型系の間の対応を確立する。主な貢献は、ケーラー＝リッチフローを環境多様体上の複素 Monge-Ampère 方程式に還元することであり、これにより楕円型 PDE の手法を用いて特異性の生成を研究可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we first show an interpretation of the Kähler-Ricci flow on a manifold $X$ as an exact elliptic equation of Einstein type on a manifold $M$ of which $X$ is one of the (Kähler) symplectic reductions via a (non-trivial) torus action. There are plenty of such manifolds (e.g. any line bundle on $X$ will do). Such an equation is called $V$-soliton equation, which can be regarded as a generalization of Kähler-Einstein equations or Kähler-Ricci solitons. As in the case of Kähler-Einstein metrics, we can also reduce the $V$-soliton equation to a scalar equation on Kähler potentials, which is of Monge-Ampere type. We then prove some preliminary results towards establishing existence of solutions for such a scalar equation on a compact Kähler manifold $M$. One of our motivations is to apply the interpretation to studying finite time singularities of the Kähler-Ricci flow.

研究の動機と目的

• シンプレクティック商上のケーラー＝リッチフローを、トーラス作用をもつ高次元多様体上の楕円型系として解釈すること。
• シンプレクティック還元の文脈において、ケーラー＝アインシュタインおよびケーラー＝リッチソリトンの一般化としてV-ソリトン計量を定義し、それらを研究すること。
• V-ソリトン方程式を環境ケーラー多様体上のスカラー複素 Monge-Ampère 方程式に還元し、存在性および一意性の解析を容易にすること。
• 全空間上での楕円型問題を用いて、ケーラー＝リッチフローの有限時刻における特異性を分析するための枠組みを提供すること。
• V-ソリトンとケーラー計量空間内の測地線の間の関係を探索し、フローの漸近的挙動を示唆すること。

提案手法

• シンプレクティック商 $X_\tau$ 上のケーラー＝リッチフローを、ハミルトニアン $S^1$-作用をもつコンパクトケーラー多様体 $M$ 上の楕円型系に持ち上げる。
• ハミルトニアン $S^1$-作用を生成するベクトル場 $V$ とそのモーメントマップ $\mu$ を用い、シンプレクティック商 $X_\tau = \mu^{-1}(\sqrt{-1}\tau)/S^1$ を定義する。
• 正規化されたケーラー＝リッチフローを特徴付ける方程式系を $M$ 上で導出する。この方程式系にはリッチ曲率、ベクトル場 $V$ のノルム $|V|_g$、およびモーメントマップの値 $\tau$ のみに依存する関数 $f$ が含まれる。
• V-ソリトン計量を、$\mathrm{Ric}(g) + \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}(\log|V|_g^2 + f) = \lambda \omega_g$ を満たすケーラー計量として定義する。これはケーラー＝アインシュタインおよびケーラー＝リッチソリトン計量を一般化する。
• V-ソリトン方程式を、$M$ 上のスカラー複素 Monge-Ampère 方程式に還元する：$(\omega_0 + \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}u)^n = |V|_g^2 e^{F + f - \lambda u} \omega_0^n$ ここで $F$ はバックグラウンド計量のリッチ曲率によって定まる。
• この枠組みを用いて、ケーラー＝リッチフローの長期的挙動を、同次複素 Monge-Ampère 方程式を通じてケーラー計量空間内の測地線に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック商上のケーラー＝リッチフローは、トーラス bundle の全空間上の楕円型方程式系として同等に記述可能だろうか？
• RQ2 V-ソリトン計量の正確な幾何学的・解析的構造は何か？また、ケーラー＝アインシュタインおよびケーラー＝リッチソリトン計量をどのように一般化するのか？
• RQ3 コンパクトケーラー多様体上での複素 Monge-Ampère 理論を用いて、スカラー V-ソリトン方程式の解の存在性をどの程度確立できるか？
• RQ4 ケーラー＝リッチフローの漸近的挙動は、ケーラー計量空間内の測地線とどのように関係しているか？
• RQ5 提示された枠組みを用いて、シンプレクティック商による双有理変換を伴う状況において、ケーラー＝リッチフローの有限時刻における特異性を楕円型 PDE の手法で解析可能だろうか？

主な発見

• 正規化されたケーラー＝リッチフローは、シンプレクティック商 $X_\tau$ 上で、リッチ曲率、キリングベクトル場 $V$ のノルム、およびモーメントマップの値 $\tau$ のみに依存する関数 $f$ を含む、環境多様体 $M$ 上の楕円型方程式系と等価である。
• V-ソリトン計量は、$\mathrm{Ric}(g) + \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}(\log|V|_g^2 + f) = \lambda \omega_g$ を満たす解として定義され、これはケーラー＝アインシュタインおよびケーラー＝リッチソリトン計量を一般化する。
• 多様体 $M$ 上での V-ソリトン方程式は、スカラー複素 Monge-Ampère 方程式に還元される：$(\omega_0 + \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}u)^n = |V|_g^2 e^{F + f - \lambda u} \omega_0^n$ ここで $F$ は $\mathrm{Ric}(g_0) - \lambda \omega_0 = \frac{\sqrt{-1}}{2}\partial\bar{\partial}F$ を満たす。
• スカラー V-ソリトン方程式の解の存在性は、近い将来の論文で $C^0$ および高階数の推定を用いた複素 Monge-Ampère 方程式理論により確立されると予想される。
• ケーラー＝リッチフローの長期的挙動は、ケーラー計量空間内での測地線に漸近的であると予想され、$X_\tau$ 上のフローは $M$ 上の $V$-ソリトンに対応するとされる。
• この枠組みにより、特に双有理変換を伴うシンプレクティック商を介する状況において、ケーラー＝リッチフローの有限時刻における特異性を、全空間 $M$ 上の楕円型問題の解析に還元する道筋が得られる。