[論文レビュー] Solitonic symmetry as non-invertible symmetry: cohomology theories with TQFT coefficients

Shi Chen, Yuya Tanizaki|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 12

ひとこと要約

論文は solitonic symmetry を非可逆の一般化対称性として、パス積分の標的空間 Y に結合された補助 TQFT の分配関数によって生成される、solitonic cohomology 理論を TQFT係数とともに形成する。

ABSTRACT

Originating from the topology of the path-integral target space $Y$, solitonic symmetry describes the conservation law of topological solitons and the selection rule of defect operators. As Ref.~\cite{Chen:2022cyw} exemplifies, the conventional treatment of solitonic symmetry as an invertible symmetry based on homotopy groups is inappropriate. In this paper, we develop a systematic framework to treat solitonic symmetries as non-invertible generalized symmetries. We propose that the non-invertible solitonic symmetries are generated by the partition functions of auxiliary topological quantum field theories (TQFTs) coupled with the target space $Y$. We then understand solitonic symmetries as non-invertible cohomology theories on $Y$ with TQFT coefficients. This perspective enables us to identify the invertible solitonic subsymmetries and also clarifies the topological origin of the non-invertibility in solitonic symmetry. We finally discuss how solitonic symmetry relies on and goes beyond the conventional wisdom of homotopy groups. This paper is aimed at a tentative general framework for solitonic symmetry, serving as a starting point for future developments.

研究の動機と目的

• ホモトピー群の記述を超える solitonic symmetry の新しい基盤を動機づける。
• solitonic 対称性が標的空間 Y に結合された補助的な完全拡張 TQFT の分配函数によって生成されると提案する。
• solitonic symmetry の代数構造とそれと可逆的な部分対称性との関係を明確にする。
• solitonic symmetry が従来のホモトピーに基づく分類を超えうることを説明する。

提案手法

• solitonic symmetry を、標的空間 Y に依存する位相的関数量によって生成される対称性として定義する。
• 局所性が位相的関数量を補助的な完全拡張 TQFT の分配函数（TQFT係数）から生じさせると主張する。
• 得られた対称的融合の高階カテゴリー Rep•(Y) および sRep•(Y) を代数的枠組みとして説明する。
• 可逆的な部分対称性が、TQFT係数を持つ通常のコホモロジー理論とどう関連するかを示す。
• Rep•(Y) を凝縮と球に基づく位相データへ分解することから非可逆性がどのように現れるかを論じる。
• 位相的関数量の構築を導く整合性と局所性の原理を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー群の記述を超える solitonic symmetry の適切な基盤は何か。
• RQ2 局所性と整合性を満たしつつ、solitonic symmetry を生成する位相的関数量を一貫して定義するにはどうすれば良いか。
• RQ3 高次元における solitonic symmetry を支配する代数構造は何か。
• RQ4 可逆的および非可逆的 solitonic subsymmetries は TQFT係数を持つ従来のコホモロジー理論とどのように関係するのか。
• RQ5 solitonic symmetry はどのような意味でホモトピー理論を超え、非可逆的な融合データをどうエンコードするのか。

主な発見

• solitonic symmetry は標的空間 Y に結合された補助的な完全拡張 TQFT の分配函数によって自然に生成される。
• 位相的関数量は、Rep•(Y) および sRep•(Y) で捉えられる、可換で非可逆な融合構造を形成する。
• solitonic symmetry は Y 上の非可逆コホモロジー理論として、TQFT係数を持つものとして見ることができ、可逆なコホモロジー理論を一般化する。
• 可逆的な solitonic subsymmetries は正統的なコホモロジー理論から生じ、非可逆性は Y の位相データと球の非自明性に結びつく。
• この枠組みはsolitonic欠陥が帯びる電荷を区別し、局所性が一般化された方向付けを通じて受け入れ可能な関数量を制約することを示す。