[論文レビュー] Solution multiplicity and effects of data and eddy viscosity on Navier-Stokes solutions inferred by physics-informed neural networks

Zhicheng Wang, Xuhui Meng+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用数 10

ひとこと要約

PINNは高Reでの2Dリドライドキャビティに対して複数のNavier–Stokes解を生成できる。エントロピー粘性正則化とデータ駆動渦粘性が最小データからDNSのような、唯一性のある安定状態へ解を導く。

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) have emerged as a new simulation paradigm for fluid flows and are especially effective for inverse and hybrid problems. However, vanilla PINNs often fail in forward problems, especially at high Reynolds (Re) number flows. Herein, we study systematically the classical lid-driven cavity flow at $Re=2,000$, $3,000$ and $5,000$. We observe that vanilla PINNs obtain two classes of solutions, one class that agrees with direct numerical simulations (DNS), and another that is an unstable solution to the Navier-Stokes equations and not physically realizable. We attribute this solution multiplicity to singularities and unbounded vorticity, and we propose regularization methods that restore a unique solution within 1\% difference from the DNS solution. In particular, we introduce a parameterized entropy-viscosity method as artificial eddy viscosity and identify suitable parameters that drive the PINNs solution towards the DNS solution. Furthermore, we solve the inverse problem by subsampling the DNS solution, and identify a new eddy viscosity distribution that leads to velocity and pressure fields almost identical to their DNS counterparts. Surprisingly, a single measurement at a random point suffices to obtain a unique PINNs DNS-like solution even without artificial viscosity, which suggests possible pathways in simulating high Reynolds number turbulent flows using vanilla PINNs.

研究の動機と目的

• 2Dリドライドキャビティ流れの高Reでの定常解の存在を、物理情報ニュートラルネットワーク（PINN）を用いて調査する。
• データの可用性と人工渦粘性がPINN解の品質と安定性に与える影響を評価する。
• PINNを物理的実現可能でDNSのような解へ導く正則化戦略を開発する。
• 渦粘性を学習または推定してDNSのような速度場と圧力場に一致させる逆問題を探る。

提案手法

• PINNフレームワーク内で2D定常不可压Navier–Stokes方程式を定式化し、境界・方程式残差・エントロピー残差項を含む複合損失を最小化する。
• 分子粘性を補強して訓練を安定化しDNSのような解を回復する ν_E としてパラメータ化されたエントロピー粘性渦粘性項を導入する。
• ν_E を次の2つのアプローチで実装する： (i) データが利用可能な場合はニューラルネットワークベースのモデル、(ii) エントロピー残差 r を用いて ν_E = min(βν, α|r|L^2/U^2) で定義するパラメータ化モデル。
• 角隅特異性を緩和するための改良リッド境界条件を用い、リッドの厳密そうに見えるが数値的には滑らかな代理境界を採用する。
• Adam、Xavier初期化、損失成分L_b（境界）、L_e（方程式）、L_s（エントロピー残差）で訓練する。
• 収束性・損失ランドスケープ・精度に対する影響を評価するため、2ネットワーク渦粘性アーキテクチャと単一ネットワークを探索する。
• DNSのような解を得るために、ラベル付きデータ（単一ポイントでも） の役割を検討する。
• ラベル付きデータなしでも、2ネットワーク渦粘性モデルを用いて Re = 3,000 および 5,000 へ拡張し、精度を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高Reの2DリドライドキャビティでPINNは複数の定常解を許すか、DNS解とどう異なるか。
• RQ2 エントロピー粘性正則化は偽のPINN解を除去し、DNSのような速度場と圧力場を得ることができるか。
• RQ3 渦粘性を導入することで（パラメトリックまたは学習モデルを介して）高-Reキャビティ流の収束性・損失ランドスケープ・精度にどのような影響があるか。
• RQ4 最小限のラベルデータ（単一測定点を含む）を用いてDNSのような解や速度場を回復できるか。

主な発見

• Re = 2000で、素のPINN（NSFnet）は二つの解のクラスを示す。DNS解に類似するクラス2と、不安定または物理的に実現不能なクラス1。
• エントロピー粘性正則化（ev-NSFnet）は訓練を常にDNSのようなクラスへ導き、5回の独立実行で速度・圧力の相対誤差（RPE）を4%未満に達成。
• パラメトリックモデルによって推定された渦粘性分布は壁・コーナー付近に集中し、領域の大半でν_Eは0.1ν未満に抑えられ、特異角近傍でより高い値に減少。
• 単一データポイントを用いることで、渦粘性と組み合わせた場合、ある設定下でDNSのような解を1%以下の速度誤差で得られる。
• 2ネットワークのパラメトリック渦粘性モデルは、ラベルデータなしでもRe = 3,000および5,000に対して高精度予測を実現し、速度誤差3–5%程度、圧力精度も妥当。
• 損失ランドスケープ分析では、渦粘性やラベル付きデータが表面を滑らかにし、DNSのような解に対応するグローバル局所解への収束を促進。
• 高Reの場合、2,000から他のReへデータ不足のまま転移学習を行うと誤差が大きくなる可能性がある。複数のラベル付きデータを取り入れると精度が著しく改善。