[論文レビュー] Solution of a Nonlinear Integral Equation via New Fixed Point Iteration Process

Chanchal Garodia, Izhar Uddin|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Optimization and Variational Analysis参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間における非拡張写像の不動点を近似するための、新しい3段階の固定点反復法を提案する。この新しいスキームの強収束を証明し、理論的分析と数値例を通じて、ピカール、マン、イシカワ、ヌール、アガルワールら、アバスとナジル、タクルらの反復法と比較して、収束がより速いことを示している。さらに、収束保証のもとで、混合型ボルテラ＝フレドホルム非線形積分方程式の解法にこの手法を応用した。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new three-step iteration process in Banach space and prove convergence results for approximating fixed points for nonexpansive mappings. Also, we show that the newly introduced iteration process converges faster than a number of existing iteration processes. Further, we discuss about the solution of mixed type Volterra-Fredholm functional nonlinear integral equation.

研究の動機と目的

• 一様凸バナッハ空間における非拡張写像に対して、新しい3段階の固定点反復法を開発すること。
• 提案された反復法の不動点への強収束を確立すること。
• 新しいスキームの収束速度を既存の反復手法と比較すること。
• 新しい反復法を、混合型ボルテラ＝フレドホルム関数的非線形積分方程式の解法に応用すること。
• 新しいスキームのより速い収束を支持する数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 提案された反復は次のように定義される：$ a_n = S c_n $, $ b_n = (1 - \delta_n) a_n + \delta_n S a_n $, $ c_{n+1} = S b_n $, ここで $ \delta_n \in (0,1) $ である。
• 収束解析は、オピアルの条件を満たす一様凸バナッハ空間で実施される。
• 収束速度の理論的比較は、ベルインデの定義に基づく：数列 $ \{r_n\} $ が $ \{p_n\} $ よりも速く収束するとは、$ \lim_{n\to\infty} \|r_n - r\| / \|p_n - p\| = 0 $ であることを意味する。
• 非線形積分方程式の解法に応用する際、関数から関数への写像である作用素 $ A $ を定義する。
• 核関数 $ K $ および $ H $、関数 $ F $ に対してリプシッツ条件が成り立つ場合、作用素 $ A $ が非拡張であることが示される。
• 再帰的バウンディングと不等式 $ e^x \geq 1 - x $（$ x \in [0,1] $）を用いて、数列 $ \{c_n\} $ が解 $ p $ に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 提案された3段階反復法は、一様凸バナッハ空間における非拡張写像の不動点に強く収束するか？
• RQ2 新しい反復法の収束速度は、ピカール、マン、イシカワ、ヌール、アガルワールら、アバスとナジル、タクルらの反復法と比べてどうか？
• RQ3 新しい反復法は、混合型ボルテラ＝フレドホルム非線形積分方程式に効果的に応用できるか？
• RQ4 以前に高速とされていたタクルらの反復法よりも、新しいスキームの収束が速いか？
• RQ5 より速い収束という理論的主張を支持する数値的証拠は何か？

主な発見

• 提案された反復法は、一様凸バナッハ空間における非拡張写像の不動点に強く収束する。
• 理論的分析により、新しい反復法はピカール、マン、イシカワ、ヌール、アガルワールら、アバスとナジル、タクルらの反復法よりも収束が速いことが確認された。
• 数値例により、新しいスキームはアガルワールら、アバスとナジル、ヌール、タクルらの反復法よりも収束が速いことが示された。
• 混合型ボルテラ＝フレドホルム積分方程式の解は、反復列 $ \{c_n\} $ の極限として得られ、$ \|c_n - p\| \to 0 $（$ n \to \infty $）となる。
• 収束速度は、$ \|c_{n+1} - p\| \leq \|c_0 - p\| \exp\left( - (1 - L) \sum_{k=0}^n \delta_k \right) $ で有界である。ここで $ L = \alpha + (\beta L_K + \gamma L_H) \prod_{i=1}^m (h_i - g_i) $ である。
• 仮定 $ \sum_{k=0}^\infty \delta_k = \infty $ のもとで、数列 $ \{c_n\} $ は解 $ p $ に強く収束する。