[論文レビュー] Solution of a problem of Peller concerning similarity

Kalton, N. J., Merdy, C. Le|ArXiv.org|Oct 28, 1999

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ペラーが提起した問題を解決する。任意の c > 1 に対して、ヒルベルト空間上のべき有界作用素 T を構成し、そのような作用素 T に相似であるいかなる作用素 S に対しても、そのべきのノルムが一様に有界でないことを示している。具体的には、supₙ‖Sⁿ‖ > c が成り立つ。この結果は、類似変換によって一様べき有界性が保たれないこと、すなわち任意の与えられたしきい値を超えては保存されないことを示しており、作用素論および関数解析学における長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We answer a question of Peller by showing that for any c>1 there exists a power-bounded operator T on a Hilbert space with the property that any operator S similar to T satisfies $\sup_n\|S^n\|>c.$

研究の動機と目的

• 類似変換のもとでの一様べき有界性の保存に関するペラーが提起した問いを解決すること。
• ヒルベルト空間上のべき有界作用素が、すべて一様に有界なべきを持つ作用素に類似しているかどうかを特定すること。
• 類似性が一様べき有界性を任意の固定された上限を超えて保証しないことを示す反例を構成すること。
• 一様ノルムの上限を任意に超えるような、べき有界作用素の類似軌道が存在することを確立すること。
• ヒルベルト空間作用素における類似性の、スペクトル的および力学的性質の保存における限界を明確にすること。

提案手法

• 関数解析学および作用素論の技術を用いて、ヒルベルト空間上に特定のべき有界作用素 T を構成する。
• スペクトル論的および摂動論的議論を用いて、T に類似する作用素のべきのノルムの挙動を分析する。
• スペクトル半径の公式および H∞ 機能的計算の性質を用いて、作用素ノルムの増大の上限を導出する。
• リット作用素の理論およびウィーナー代数上の機能的計算の結果を応用し、Sⁿ の増大を制御する。
• 任意の c > 1 に対して、構成された T が supₙ‖Sⁿ‖ ≤ c を満たすいかなる作用素 S に対しても類似していないことを示す。
• 類似性がスペクトルを保存するが、べきのノルム増大を保存しないことを利用し、T のスペクトル局在性に着目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間上の任意のべき有界作用素は、一様に有界なべきを持つ作用素に類似しているか？
• RQ2 すべてのべき有界作用素が supₙ‖Sⁿ‖ ≤ c を満たすような、c > 1 の普遍的な上限 c が存在するか？
• RQ3 類似変換のもとでの一様べき有界性の最適しきい値は何か？
• RQ4 スペクトル的性質だけが、類似のもとでのべきの均一な増大を決定づけるか？
• RQ5 一様べきノルムが任意に大きい値をとるような、類似類に必ず含まれるべき有界作用素を構成できるか？

主な発見

• 任意の c > 1 に対して、supₙ‖Sⁿ‖ ≤ c を満たすいかなる作用素 S に対しても類似していないべき有界作用素 T が、ヒルベルト空間上に存在する。
• 構成された作用素 T はべき有界である（すなわち supₙ‖Tⁿ‖ < ∞ であるが、その類似類には、任意の固定された c を超える一様べき有界性を持たない代表が存在しない。
• この結果は、類似性がヒルベルト空間作用素に対しても、一様べき有界性を保証しないことを示している。
• 証明は、H∞ 機能的計算およびウィーナー代数におけるスペクトル局在の深い性質に依存している。
• 構成は、スペクトル半径の条件が、類似のもとでのべきの均一な増大を制御するには不十分であることを示している。
• 本論文はペラーの問いに対して鋭い否定的解答を確立した：類似性は作用素のべきの増大を一様に束縛できない。