[論文レビュー] Solution of Conformable Fractional Ordinary Differential Equations via Differential Transform Method

Emrahünal, Ahmet Gökdoğan|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可換型分数階常微分方程式（FODEs）を解くために、可換型分数階微分変換法（CFDTM）を導入する。古典的微分変換法を可換型分数階微分に適応させることで、著者らはFODEsに対して高い精度と効率性を有する解析的解を導出し、提示された手法を用いて正確な解が得られる例題を通じて、この手法の信頼性を示している。

ABSTRACT

Recently, a new fractional derivative called the conformable fractional derivative is given which is based on the basic limit definition of the derivative in [1]. Then, the fractional versions of chain rules, exponential functions, Gronwall's inequality, integration by parts, Taylor power series expansions is developed in [2]. In this paper, we give conformable fractional differential transform method and its application to conformable fractional differential equations.

研究の動機と目的

• 可換型分数階常微分方程式（FODEs）を解くための信頼性の高い解析的手法を開発すること。
• 古典的微分変換法を可換型分数階微分の枠組みに拡張すること。
• 提示された可換型分数階微分変換法（CFDTM）の有効性と精度を、ベンチマーク用FODEsに対して示すこと。
• 可換型微分を用いたFODEの級数解を計算するための体系的アプローチを提供すること。

提案手法

• 可換型分数階微分変換法（CFDTM）は、古典的微分変換法を可換型分数階微分に拡張したものとして提案される。
• この手法は微分変換を可換型分数階微分に適用し、FODEsを再帰的代数方程式に変換する。
• 得られた係数の逆微分変換を用いて、解を級数展開として構築する。
• 可換型微分は極限に基づく定義により定義され、微分変換の適用が容易になる。
• この手法は古典的微分変換の構造を保ちつつ、分数階パラメータ α ∈ (0,1] を組み込む。
• このアプローチは複数のFODEに適用され、逆変換を用いて解が再構築され、正確な解と比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的微分変換法は、可換型分数階常微分方程式を効果的に解くために適応可能か？
• RQ2 提示された可換型分数階微分変換法（CFDTM）は、解析的解を計算する上でどれほど正確かつ効率的か？
• RQ3 既知の正確な解を有する線形および非線形FODEに適用した場合、CFDTMの収束特性と信頼性はいかなるものか？
• RQ4 分数階パラメータ α と初期条件は、級数解の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 どのような種類のFODEがCFDTMを用いて効果的に解くことができるか、またこの手法の限界は何か？

主な発見

• CFDTMは、さまざまな線形および非線形可換型FODEsに対して、高い精度で解析的解を生成できた。
• この手法は、テストされた方程式の既知の解析的解と一致する級数形の正確な解を生成した。
• テスト例において、α ∈ (0,1] の範囲で、級数解の収束が速く安定していることが観察された。
• この手法は、複雑な数値積分を必要とせずに、可換型分数階微分を含む初期値問題を効果的に処理できた。
• CFDTMは、FODEsを解くための体系的かつ計算的に効率的な、従来の数値的手法の代替手段を提供した。
• 結果から、微分変換アプローチが可換型分数階微分積分学の枠組みに拡張されても実用的で頑健であることが確認された。