[論文レビュー] Solution of Interpolation Problems via the Hankel Polynomial Construction

Alexei Yu. Uteshev, Ivan Baravy|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2016

Mathematical functions and polynomials被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重み付き和としての補間データから導かれるヘンケル多項式を用いて、多項式および有理関数補間問題を解くための新規な手法を提示する。ヤコビの19世紀の行列式恒等式とベルレクープ・マッセイのアルゴリズムを活用することで、補間関数の効率的計算が可能となり、多項式系における誤り訂正および結果式の計算のための堅牢なフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We treat the interpolation problem $ \\{f(x_j)=y_j\\}_{j=1}^N $ for polynomial and rational functions. Developing the approach by C.Jacobi, we represent the interpolants by virtue of the Hankel polynomials generated by the sequences $ \\{\\sum_{j=1}^N x_j^ky_j/W^{\\prime}(x_j) \\}_{k\\in \\mathbb N} $ and $ \\{\\sum_{j=1}^N x_j^k/(y_jW^{\\prime}(x_j)) \\}_{k\\in \\mathbb N} $; here $ W(x)=\\prod_{j=1}^N(x-x_j) $. The obtained results are applied for the error correction problem, i.e. the problem of reconstructing the polynomial from a redundant set of its values some of which are probably erroneous. The problem of evaluation of the resultant of polynomials $ p(x) $ and $ q(x) $ from the set of values $ \\{p(x_j)/q(x_j) \\}_{j=1}^N $ is also tackled within the framework of this approach.

研究の動機と目的

• 補間データから生成されるヘンケル多項式を用いた多項式および有理関数補間の体系的アプローチの構築。
• ヤコビの行列式恒等式に基づく再帰的アルゴリズムによる補間関数の効率的計算の実現。
• 冗長的で、場合によっては誤ったデータセットから多項式を再構築することで誤り訂正問題に対処。
• 有理関数の値から導かれるヘンケル行列式を用いて、2つの多項式の結果式を計算。
• 古典的な補間手法を、多項式系における記号的パラメータおよび退化状態に対応させる拡張。

提案手法

• 補間ノードと値から導かれる列を用いてヘンケル多項式を構築：$\tau_k = \sum_{j=1}^N y_j \frac{x_j^k}{W'(x_j)}$ および $\widetilde{\tau}_k = \sum_{j=1}^N \frac{1}{y_j} \frac{x_j^k}{W'(x_j)}$、ここで $W(x) = \prod_{j=1}^N (x - x_j)$。
• ヘンケル多項式の効率的計算に向けた再帰的恒等式 $A_k \mathcal{H}_{k-2}(x) + (B_k - x)\mathcal{H}_{k-1}(x) + \frac{1}{A_k}\mathcal{H}_k(x) \equiv 0$ の利用。
• ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムを用いて最小多項式を計算し、分子および分母の次数が異なる有理関数の補間を実行。
• 2つの多項式 $p(x)$ と $q(x)$ の結果式を、$n$ 階のヘンケル行列式 $H_n(\{\widetilde{\tau}\})$ として表現し、記号的パラメータ解析を可能にする。
• ヘンケル小行列の準結果式的性質を用いて、ヘンケル係数を含む有理式を介して $p(x)$ と $q(x)$ の共通根を回復。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補間データからヘンケル多項式を体系的に構築することで、多項式および有理関数補間問題を解く方法は何か？
• RQ2 ヘンケル行列式の再帰的構造を活用して、冗長的または汚損済みのデータが存在する状況でも補間関数を効率的に計算できるか？
• RQ3 因数分解を明示的に行わずに、関数値から直接2つの多項式の結果式を計算できるか？
• RQ4 ヘンケルに基づく手法を用いて、汚損済みで冗長な値の集合から多項式を回復できる条件は何か？
• RQ5 記号的パラメータ設定下で、ヘンケル行列式およびその小行列を用いて2つの多項式の共通根を再構築できるか？

主な発見

• ヘンケル多項式の構築は、ヤコビの行列式恒等式から導かれる明示的公式を備えた、多項式および有理関数補間の統合的フレームワークを提供する。
• ベルレクープ・マッセイのアルゴリズムによるヘンケル多項式の再帰的計算により、大規模データセットに対しても補間問題が効率的に解ける。
• 誤り訂正問題に関しては、$x$-ノードが正しく保たれている場合、$N$ 個の値のうち一部が汚損している状況でも、$n < N-1$ の多項式が正常に再構築可能である。
• 2つの多項式 $p(x)$ と $q(x)$ の結果式は、ヘンケル行列式 $H_3(\{\widetilde{\tau}\})$ として表現され、$p(x)$ と $q(x)$ が共通根を持つときかつそのときに限り、その値がゼロとなる。
• 例6.2において、結果式が記号的に計算され、パrameter $\alpha = -9$ が共通零点 $\lambda = 2 - \sqrt{3}$ を与えることが判明し、この手法がパrameter依存系において有効であることが示された。