[論文レビュー] Solution of linear equations and inequalities in idempotent vector spaces

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|May 18, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、idempotent代数フレームワークにおける距離最小化を用いて、idempotentベクトル空間における線形方程式および不等式を解くための新しいアプローチを提示する。問題をベクトル距離と擬似逆行列を含む最適化問題に再定式化することで、解の存在および一意性の条件、方程式の一般解、不等式の完全な解を導出し、ベクトル加法を含む拡張された方程式への応用を示す。

ABSTRACT

Linear vector equations and inequalities are considered defined in terms of idempotent mathematics. To solve the equations, we apply an approach that is based on the analysis of distances between vectors in idempotent vector spaces. The approach reduces the solution of the equation to that of an optimization problem in the idempotent algebra setting. Based on the approach, existence and uniqueness conditions are established for the solution of equations, and a general solution to both linear equations and inequalities are given. Finally, a problem of simultaneous solution of equations and inequalities is also considered.

研究の動機と目的

• idempotentベクトル空間における線形方程式および不等式の統一的解法を、幾何的距離解析を用いて開発すること。
• ベクトル距離および擬似逆行列を用いて、解の存在および一意性の条件を確立すること。
• idempotent代数の文脈において、線形方程式および不等式の両方の一般閉形式解を提供すること。
• 方程式 $A\bm{x} \oplus \bm{b} = \bm{d}$ の形をとる拡張された方程式を扱えるフレームワークを拡張すること、並びに同時系を含むこと。
• 幾何的に解釈可能で、計算的に効率的な解法を、ベクトルおよび並列計算に適した形で提供すること。

提案手法

• 解法は、idempotentベクトル空間における行列 $A$ の列ベクトルの線形包へのベクトルの距離を最小化することに基づく。
• 基本的な半モジュール演算および擬似逆行列を用いて距離関数を定義し、コンactなベクトル形式の解を得られるようにする。
• この方法により、extremal解の概念を活用して、idempotent代数における線形方程式の解法を最適化問題に還元する。
• 不等式に関しては、residuationを用いて最大の部分解が得られ、解は双対半モジュール演算を介して表現される。
• 一般解は、右辺ベクトルを生成する最小の列系に対応する添字集合 $I$ を特定することによって構成される。
• 方程式に追加のベクトル $A\bm{x} \oplus \bm{b} = \bm{d}$ を含めるために、システムを部分問題に分解し、$\Delta_1 = \mathbb{1}$ および空でない $\widetilde{\mathcal{I}}_1$ を用いた存在条件を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 idempotentベクトル空間において、線形方程式 $A\bm{x} = \bm{d}$ が解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 このような方程式の一般解は、コンactで計算的に効率的なベクトル形式でどのように表現できるか？
• RQ3 不等式 $A\bm{x} \leq \bm{d}$ の解が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ4 idempotent設定において、方程式と不等式の同時解はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 擬似逆行列および距離最小化は、$A\bm{x} \oplus \bm{b} = \bm{d}$ のような拡張された方程式を解く際に果たす役割は何か？

主な発見

• 方程式 $A\bm{x} = \bm{d}$ の解が存在するのは、$\bm{d}$ と $A$ の列の線形包との最小距離がゼロであるときであり、これは $\Delta = (A(\bm{d}^{-}A)^{-})^{-}\bm{d} = \mathbb{1}$ と同値である。
• 一般解は、集合 $I \in \widetilde{\mathcal{I}}$ にインデックスが付いたベクトルの族 $\bm{x}_I$ として与えられ、$i \in I$ に対して $x_i = (\bm{d}^{-}\bm{a}_i)^{-}$、それ以外の $i$ に対しては $x_i \leq (\bm{d}^{-}\bm{a}_i)^{-}$ となる。
• 不等式 $A\bm{x} \leq \bm{d}$ に関しては、最大の部分解は $A \backslash \bm{d} = A^{-} \otimes \bm{d}$ であり、解集合は同じ添字集合フレームワークによって完全に特徴づけられる。
• 拡張された方程式 $A\bm{x} \oplus \bm{b} = \bm{d}$ は、$\Delta_1 = \mathbb{1}$ かつ $\widetilde{\mathcal{I}}_1 \neq \emptyset$ のときに限り解をもつ。解は、結合項 $\bm{d}^{-}\bm{a}_i \oplus \bm{b}^{-}\bm{c}_i$ を用いて表現される。
• この方法により、デカルト座標系を用いた平面における幾何的解釈が得られ、idempotent空間における射影および距離最小化に対応する。
• 行列の要素に制限を課さない方法を採用することで、従来の手法を一般化・洗練し、$A$ にゼロ要素が含まれる場合でも解が得られるようにする。