[論文レビュー] Solution of the Gardner problem on the lock-in range of phase-locked loop

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Advancements in PLL and VCO Technologies参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Floyd Gardnerが長年にわたり提起した、2次位相同期ループ（PLL）における一意なロックイン周波数およびロックイン範囲を定義する問題に対して、厳密な数学的解を提供する。非線形解析と円筒型位相空間上でのリャプノフ関数を用いて、リードラグおよびアクティブPIフィルタを備えたPLLの正確なロックイン範囲推定を導出し、コスタスループや光通信システムなどの応用分野における正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

The lock-in frequency and lock-in range concepts were introduced in 1966 by Floyd Gardner to describe the frequency differences of phase-locked loop based circuit for which the loop can acquire lock within one beat, i.e. without cycle slipping. These concepts became popular among engineering community and were given in various engineering publications. However rigorous mathematical explanations these concepts turned out to be a challenging task, thus, in the 2nd edition of Gardner's well-known work, Phaselock Techniques, he wrote that "despite its vague reality, lock-in range is a useful concept" and posed the problem "to define exactly any unique lock-in frequency". In this paper an effective solution for Gardner's problem on the unique definition of the lock-in frequency and lock-in range is discussed. The lock-in range and lock-in frequency computation is explained on the example of classical second-order PLL with lead-lag and active proportional-integral filters. The obtained results can also be used for the lock-in range computation of such PLL-based circuits as two-phase PLL, two-phase Costas loop, BPSK Costas loop, and optical Costas loop, used in intersatellite communication.

研究の動機と目的

• ガーデナーの1966年における定式化以来、長年にわたり曇りがちなままだった位相同期ループにおけるロックイン周波数およびロックイン範囲の定義の曖昧さを解消すること。
• 工学文献に形式的定義が欠如している状況を踏まえ、一意なロックイン周波数および範囲を求める数学的に厳密なフレームワークを提供すること。
• 2段階PLL、コスタスループ、光コスタスループを含む、実用的なPLLベース回路におけるロックイン範囲の正確な計算を可能にすること。
• サイクルスリッピングと過渡挙動を円筒型位相空間における分離子および位相平面技術を用いて分析することで、従来の手法の制限を克服すること。
• リードラグおよびアクティブPIフィルタ構成の両方の解析を拡張し、パラメータ依存の図を用いてスケーラブルな結果を提示すること。

提案手法

• 正弦位相検波器を備えた古典的2次PLLを、円筒型位相空間上での非線形力学系として定式化する。
• リャプノフ関数技術を適用して状態軌道の境界を定め、解析を有界領域に縮小し、安定性およびアトラクタ解析を可能にする。
• 位相平面解析と数値計算を用いて、サイクルスリップを引き起こす初期条件とスリップなしでロックする初期条件を分離する分離子を同定する。
• 時間の再パrameter化を用いて、$ K_{\rm vco}\tau_1 $ および $ \tau_2/\tau_1 $ の2つの主要パラメータに依存する標準形にシステムを簡略化し、解析を容易にする。
• ロックイン周波数図（図9、10、11、13）を $ \tau_2/\tau_1 $ および $ K_{\rm vco}\tau_1 $ の関数として構築し、ロックイン範囲の直接的な照会を可能にする。
• 正規化モデルから任意の利得パラメータ $ K_p $、$ K_{\rm pd} $、$ K_{\rm vco} $ を有する実世界のPLLに結果をスケーリングする変換則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の定義が曖昧とされた中で、位相同期ループにおけるロックイン周波数の正確な数学的定義は何か？
• RQ2 初期条件およびサイクルスリップの可能性を考慮した上で、ロックイン範囲を厳密に計算する方法は何か？
• RQ3 ループフィルタのパラメータ $ \tau_1 $、$ \tau_2 $、および $ K_{\rm vco} $ は、ロックイン範囲の決定にどのように寄与するか？
• RQ4 リードラグおよびアクティブPIフィルタを備えた2次PLLにおいて、ロックイン範囲とプルイン範囲はどのように比較されるか？
• RQ5 コスタスループや光通信システムなどの他のPLLベースのシステムへ、結果を一般化できるか？

主な発見

• 数値的図表（図13）により確認されたように、同じPLL構成においてロックイン範囲はプルイン範囲よりも厳密に小さい。
• リードラグフィルタの場合、ロックイン周波数は $ \omega_{\text{lock-in}}(\tau_2/\tau_1, K_{\rm vco}\tau_1) $ として計算され、図9および図10の縦座標の積に $ K_{\rm vco} $ を乗じることで値を取得可能である。
• アクティブPIフィルタの場合、ロックイン周波数は $ 1/K_p $ でスケーリングされ、式 $ \omega_{\text{lock-in}}(\tau_2, K_pK_{\rm pd}K_{\rm vco}/\tau_1)/K_p $ として与えられ、一般PLLへの応用が可能である。
• リャプノフ関数 $ V(x) = \frac{\tau_1}{2}x^2 $ の使用により、状態変数 $ x $ の有界性が保証され、解析対象領域が制限され、位相平面解析が可能になる。
• 図12の位相軌道は、自由運転周波数 $ \omega_{\rm{free}} $ を増加させるとロックイン範囲が縮小することを示しており、分離子の存在と整合的である。
• 隠れた振動およびロックイン挙動の非一意性を効果的に解消し、PLLの工学的設計に向けた堅牢なフレームワークを提供した。