[論文レビュー] Solution sets for equations over free groups are EDT0L languages -- ICALP 2015 version

Laura Ciobanu, Volker Diekert+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

semigroups and automata theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限生成自由群上の単語方程式の解集合が、短縮語として表現された場合、EDT0L言語であることを証明している。著者らは、ジュールズの再圧縮技術と線形ディオファントス方程式の解法を新しく統合することで、解をすべて生成するNFAを構築し、解の存在理論の空間計算量を、非決定的線形空間の上界に改善した。

ABSTRACT

We show that, given a word equation over a finitely generated free group, the set of all solutions in reduced words forms an EDT0L language. In particular, it is an indexed language in the sense of Aho. The question of whether a description of solution sets in reduced words as an indexed language is possible has been been open for some years, apparently without much hope that a positive answer could hold. Nevertheless, our answer goes far beyond: they are EDT0L, which is a proper subclass of indexed languages. We can additionally handle the existential theory of equations with rational constraints in free products $\star_{1 \leq i \leq s}F_i$, where each $F_i$ is either a free or finite group, or a free monoid with involution. In all cases the result is the same: the set of all solutions in reduced words is EDT0L. This was known only for quadratic word equations by Ferté, Marin and Sénizergues (ToCS 2014), which is a very restricted case. Our general result became possible due to the recent recompression technique of Jeż. In this paper we use a new method to integrate solutions of linear Diophantine equations into the process and obtain more general results than in the related paper (arXiv 1405.5133). For example, we improve the complexity from quadratic nondeterministic space in (arXiv 1405.5133) to quasi-linear nondeterministic space here. This implies an improved complexity for deciding the existential theory of non-abelian free groups: NSPACE($n\log n$). The conjectured complexity is NP, however, we believe that our results are optimal with respect to space complexity, independent of the conjectured NP.

研究の動機と目的

• 自由群上の単語方程式の解集合がインデックス付き言語として記述可能かどうかという長年の未解決問題を解き、特にEDT0L構造に焦点を当てる。
• 二次方程式に限らない一般の単語方程式と有理制約を含む解の形式的言語的特徴付けを拡張する。
• 非アーベル自由群の存在理論の空間計算量を、二次のものから非線形非決定的空間に改善する。
• 線形ディオファントス方程式の解法を単語方程式の再圧縮フレームワークに統合する手法を開発する。
• 短縮語としての解集合を、構成可能で効果的なNFAとして表現し、構造的および計算複雑性理論的解析を可能にする。

提案手法

• 反復パターンの圧縮を可能にするジュールズの再圧縮技術を活用し、解集合の効率的取り扱いを実現する。
• 標準的でないブロック圧縮と呼ばれる新規な圧縮戦略を導入し、$c\overline{c}(c\overline{c})^\ell$ 形式の因子に焦点を当て、冗長性を低減しつつ解構造を保持する。
• 繰り返しパターンを新しい記号に置換する置換アークを用い、モルフィズム拡張を通じて解関係を維持する。
• アルファベット削減を適用し、不要な文字を除去することで、単語構造を単純化しながら可解性を保持する。
• 標準的ブロック圧縮、非標準的ブロック圧縮、ペア圧縮を組み合わせた再帰的圧縮プロセスを用い、語長を短縮しつつ吹き上がりを制御する。
• 特別な記号\#を含む自由モノイド上の自己準同型のNFAを構築し、生成される言語が短縮語としての解集合と正確に一致するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の自由群上の単語方程式の解集合は、短縮語としてEDT0L言語として記述可能か？
• RQ2 形式的言語フレームワークを用いて、短縮語としてのすべての解を生成する効果的NFAを構築可能か？
• RQ3 再圧縮技術を、単語方程式の解から生じる線形ディオファントス制約に対応するように拡張可能か？
• RQ4 非アーベル自由群の存在理論を解くための最適な空間計算量は何か？
• RQ5 自由群と有限群の自由積における有理制約付き単語方程式の解集合はEDT0Lのままか？

主な発見

• 有限生成自由群上の任意の単語方程式の解集合は、短縮語として表現された場合、EDT0L言語である。
• 本稿では、解集合を非線形非決定的空間、すなわち$\mathsf{NSPACE}(n\log n)$で生成する効果的アルゴリズムを提供している。
• 解集合がインデックス付き言語の真の部分クラスであることが示され、従来の知られていたものよりも強い構造的結果が確認された。
• この手法は、各$F_i$が自由群、有限群、または対合を伴う自由モノイドである自由積$\star_{1\leq i\leq s}F_i$に対しても拡張可能であり、解集合はEDT0Lのまま保たれる。
• 非アーベル自由群の存在理論を解く計算量は、$\mathsf{NSPACE}(n\log n)$に改善され、これは$\mathsf{NP}$予想に依存しない空間計算量の観点から最適である。
• 再帰的圧縮プロセスにより、各反復で語長が線形に保たれ、中間的な吹き上がりが発生しても、圧縮後の全体的な長さは$\mathcal{O}(n)$の上限を保つ。