[論文レビュー] Solutions for a nonlocal elliptic equation involving critical growth and Hardy potential

Chunhua Wang, Jing Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、原点を含む有界領域における臨界Sobolev増大とハーディー項を含む非局所楕円型方程式に対して、無限個の解の存在を確立する。分数級Sobolev空間 $ H^s_0(Ω) $ における近似法と変分法を用いて、$ N > 6s $ の条件下で、ハーディー係数 $ \mu $ が特定のスペクトル閾値条件を満たし、$ a > 0 $ のとき、問題は無限個の解をもつことを証明する。

ABSTRACT

In this paper, by an approximating argument, we obtain infinitely many solutions for the following Hardy-Sobolev fractional equation with critical growth \begin{equation*}\label{0.1} \left\{% \begin{array}{ll} (-Δ)^{s} u-\ds\frac{μu}{|x|^{2s}}=|u|^{2^*_s-2}u+au, & \hbox{$ ext{in}~ Ω$},\vspace{0.1cm} u=0,\,\, &\hbox{$ ext{on}~\partial Ω$}, \\ \end{array}% ight. \end{equation*} provided $N>6s$, $μ\geq0$, $0< s<1$, $2^*_s=\frac{2N}{N-2s}$, $a>0$ is a constant and $Ω$ is an open bounded domain in $\R^N$ which contains the origin.

研究の動機と目的

• 原点を含む有界領域における臨界Sobolev増大とハーディー項を有する非局所楕円型方程式に対して、無限個の解の存在を確立すること。
• 変分法の文脈において、分数階ラプラシアン、ハーディー項 $ \mu |x|^{-2s} $、臨界非線形項 $ |u|^{2^*_s - 2}u $ の相乗的相互作用を分析すること。
• ハーディー項を伴う分数階ラプラシアンに関する既存の結果を、臨界増大を組み込み、解の多重性を証明することで拡張すること。
• 近似解の漸近的挙動を $ H^s_0(\Omega) $ 内で調査し、特に局在化されたプロファイルへの分解を考察すること。
• スペクトル閾値条件がハーディー不等式の正当性とエネルギー汎関数の強制性を保証することを検証すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $ I(u) = \frac{1}{2}\int_\Omega \left( |(-\Delta)^{s/2}u|^2 - \mu \frac{u^2}{|x|^{2s}} - a u^2 \right) dx - \frac{1}{2^*_s}\int_\Omega |u|^{2^*_s} dx $ を用いて、$ H^s_0(\Omega) $ 上の変分的枠組みを定式化する。
• 正則化された方程式を解くために、$ \epsilon_n \to 0 $ となる消えるパラメータを導入し、極限を分析する近似法を採用する。
• 集中・コンパクトネスの原理とプロファイル分解を用いて、$ H^s_0(\Omega) $ 内の有界列の漸近的構造を分析し、解を極限プロファイルと局在化されたバブルに分解する。
• ラプラシアンの固有関数展開による分数階ラプラシアン $ (-\Delta)^s $ のスペクトル的定義を用い、$ H^s_0(\Omega) $ 内での定義可能性を保証する。
• 特徴的なハーディー不等式を用い、最適定数 $ \bar{\mu} = 2^{2s} \Gamma^2(\frac{N+2s}{4}) / \Gamma^2(\frac{N-2s}{4}) $ によって原点における特異性を制御する。
• 拡張問題における移動平面法とPohozaev型恒等式を適用し、エネルギー恒等式を導出し、ブロー・アップ解析における境界項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディー項と臨界非線形項を有する分数階楕円型方程式が無限個の解をもつための $ \mu $、$ s $、$ N $ に関する条件は何か？
• RQ2 ハーディー項 $ \mu |x|^{-2s} $ は、変分的構造およびPalais-Smale列のコンパクトネスにどのように影響を与えるか？
• RQ3 正則化パラメータ $ \epsilon_n \to 0 $ のとき、近似解の漸近的プロファイルは何か？また、それらはどのように局在化されたバブルに分解されるか？
• RQ4 $ N > 6s $ のとき、非自明なハーディー項を有する場合でも、方程式に付随するエネルギー汎関数が無限個の臨界点をもつことは可能か？
• RQ5 スペクトル閾値条件 $ \frac{2^*_s \sqrt{\bar{\mu}}}{\sqrt{\bar{\mu}} - \sqrt{\bar{\mu} - \mu}} > \frac{2N}{N - 6s} $ が複数の解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $ N > 6s $、$ \mu \geq 0 $、$ a > 0 $、および $ \mu $ がスペクトル閾値条件を満たすとき、方程式は $ H^s_0(\Omega) $ 内に無限個の弱解をもつ。
• 近似解 $ u_n $ は $ u_n = u_0 + \sum_{j=1}^m \rho_{0,\Lambda_{n,j}}(U_j) + \sum_{j=m+1}^h \rho_{x_{n,j},\Lambda_{n,j}}(U_j) + \omega_n $ と分解され、ここで $ \omega_n \to 0 $ である。$ u_0 $ は元の問題の解である。
• 局在化されたプロファイル $ U_j $ は、$ j=1,\dots,m $ に対して $ D^s(\mathbb{R}^N) $ 内で $ (-\Delta)^s U_j - \mu \frac{U_j}{|x|^{2s}} = b_j |U_j|^{2^*_s - 2} U_j $ を満たし、$ j=m+1,\dots,h $ に対しては $ (-\Delta)^s U_j = b_j |U_j|^{2^*_s - 2} U_j $ を満たす。ここで $ b_j \in (0,1] $ である。
• $ j > m $ のための集中点 $ x_{n,j} $ は、$ \Lambda_{n,j} d(x_{n,j}, \partial\Omega) \to \infty $ および $ \Lambda_{n,j} |x_{n,j}| \to \infty $ を満たし、境界または無限遠に発散することを示している。
• 異なるインデックス $ i \neq j $ に対して、$ \frac{\Lambda_{n,j}}{\Lambda_{n,i}} + \frac{\Lambda_{n,i}}{\Lambda_{n,j}} + \Lambda_{n,j} \Lambda_{n,i} |x_{n,i} - x_{n,j}|^2 \to \infty $ が成り立ち、これは極限におけるバブルの直交性を保証する。
• エネルギー汎関数は下から有界であり、近似列に沿ってPalais-Smale条件を満たす。これは無限個の解の存在にとって不可欠である。