[論文レビュー] Solutions of diophantine equations as periodic points of $p$-adic algebraic functions, I

Patrick Morton|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2014

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ひとこと要約

本稿は、2進体上の特定の2次代数関数 $ T(z) $ の周期点と、$ -d \equiv 1 \pmod{8} $ を満たす虚二次体 $ K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) $ の類体における四次フェルマー方程式の解との間で、動的対応を確立する。すべての周期点のうち2つを除き、$ \overline{\mathbb{Q}}_2 $ 内の $ T(z) $ の周期点が、$ p $-適正な虚二次体上での類体を生成することを証明し、デューリングが元来示した類数関係を動的証明する。

ABSTRACT

Solutions of the quartic Fermat equation in ring class fields of odd conductor over quadratic fields $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ with $-d \equiv 1$ (mod $8$) are shown to be periodic points of a fixed algebraic function $T(z)$ defined on the punctured disk $0< |z|_2 \le \frac{1}{2}$ of the maximal unramified, algebraic extension $ extsf{K}_2$ of the $2$-adic field $\mathbb{Q}_2$. All ring class fields of odd conductor over imaginary quadratic fields in which the prime $p=2$ splits are shown to be generated by complex periodic points of the algebraic function $T$, and conversely, all but two of the periodic points of $T$ generate ring class fields over suitable imaginary quadratic fields. This gives a dynamical proof of a class number relation originally proved by Deuring. It is conjectured that a similar situation holds for an arbitrary prime $p$ in place of $p=2$, where the case $p=3$ has been previously proved by the author, and the case $p=5$ will be handled in Part II.

研究の動機と目的

• $ p $-進代数関数の周期点と虚二次体上の類体との間の動的対応を確立すること。
• デューリングが複素解析的枠組みで示したが、2進体上での $ T(z) $ の周期点を用いた動的証明により、類数関係を再証明すること。
• 虚二次体の類体論と複素乗法理論の枠組みを、$ T(z) $ が定める $ p $-進力学系に類体を埋め込むことで拡張すること。
• すべての素数 $ p $ に対して同様の力学的構造が存在するとの広範な予想を支持するため、$ p=2 $ を基礎的事例として位置づけること。

提案手法

• 2進体 $ \mathbb{Q}_2 $ の最大無分岐拡大体 $ \mathsf{K}_2 $ 内の、$ 0 < |z|_2 \leq \frac{1}{2} $ を満たす穿孔ディスク上で、二項展開を用いて $ 2 $-進代数関数 $ T(z) $ を定義する。
• 虚二次体 $ K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) $ に対して $ -d \equiv 1 \pmod{8} $ を満たすとき、その類体における四次フェルマー方程式の解が、$ T(z) $ の周期点であることを示す。
• 繰り返し結果式を用いて、周期点の最小多項式 $ b_d(x) $ を計算し、類体生成と関連付ける。
• $ \overline{\mathbb{Q}}_2 $ 内の $ T(z) $ のすべての周期点のうち、2つを除き、$ p $-適正な虚二次体上での類体を生成することを証明する。
• 最小周期 $ n $ の周期点の個数を数えることで、類数関係を導出する。$ n > 1 $ に対して $ \sum_{-d \in \mathfrak{D}_n} h(-d) = n N_4(n) = \sum_{k|n} \mu(n/k) 2^{2k} $ が成り立つことを示す。
• 結果式多項式 $ R_n(x) $ の因数分解が、$ b_d(x) $ の積として表されることを確認し、周期点が類体生成子に対応することを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p $-進代数関数の周期点を用いて、虚二次体上の類体をどのように生成できるか。
• RQ2 $ p=2 $ の場合に、類体論の類体を実現する正確な力学系（代数関数）は何か。
• RQ3 この関数の周期点が、四次フェルマー方程式のようなディオファントス方程式の解をパラメトライズできることを示せるか。
• RQ4 周期点が、$ p $-適正な虚二次体上のすべての類体をどれほどまで生成できるか。例外はいくつ存在するか。
• RQ5 与えられた最小周期を持つ周期点の数え上げが、類数関係を導くことができ、その関係がこの力学的アプローチによって証明可能か。

主な発見

• $ -d \equiv 1 \pmod{8} $ を満たす $ p $-適正な虚二次体 $ K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) $ の奇数の導手を持つすべての類体は、2進関数 $ T(z) $ の周期点によって生成される。
• $ \overline{\mathbb{Q}}_2 $ 内の $ T(z) $ の周期点のうち、2つを除き、ある $ p $-適正な虚二次体上での類体を生成する。
• 領域 $ \textsf{D}_2 = \{ y : 0 < |y|_2 \leq \frac{1}{2} \} $ 内の最小周期 $ n $ の周期点の個数は $ n N_4(n) = \sum_{k|n} \mu(n/k) 2^{2k} $ で与えられ、これは $ \mathfrak{D}_n $ に属する判別式 $ -d $ に対する類数 $ h(-d) $ の和に等しい。
• 周期点の最小多項式 $ b_d(x) $ は、反復結果式 $ R_n(x) $ の因数分解により検証され、$ b_{23}(x), b_{31}(x), \dots, b_{255}(x) $ のように、さまざまな $ d $ に対して明示的な因数分解が得られ、類体生成におけるその役割が裏付けられる。
• 力学系は、デューリングが元来示した類数関係を、$ T(z) $ の周期軌道構造から得る新しい証明を提供する。
• $ n > 1 $ を満たす $ T(z) $ のすべての周期点は、局所体 $ \mathsf{K}_2 $ 内の素元であることが示され、2進体における算術的意義を示している。