[論文レビュー] Solutions of diophantine equations as periodic points of $p$-adic algebraic functions, II: The Rogers-Ramanujan continued fraction

Patrick Morton|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

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ひとこと要約

本稿では、$\varepsilon = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ である五次ディオファントス方程式 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$ の解が、虚二次体 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ における特定のアーベル拡大の CM 点におけるロジャース＝ラマヌジャン連分数 $r(\tau)$ の値として生じることを確立する。これらの値は、固定された 5-進代数的関数の周期的点であることが示され、類体論とモジュラー関数、および $p$-進力学的系が結びつけられる。

ABSTRACT

In this part we show that the diophantine equation $X^5+Y^5=\varepsilon^5(1-X^5Y^5)$, where $\varepsilon=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, has solutions in specific abelian extensions of quadratic fields $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ in which $-d \equiv \pm 1$ (mod $5$). The coordinates of these solutions are values of the Rogers-Ramanujan continued fraction $r(τ)$, and are shown to be periodic points of an algebraic function.

研究の動機と目的

• 五次ディオファントス方程式 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$ の解と、固定された 5-進代数的関数の周期的点との間の対応関係を確立すること。
• これらの解の座標が、$-d \equiv \pm 1 \pmod{5}$ を満たす虚二次体 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 上のヒルベルト類体およびリーマン類体における CM 点におけるロジャース＝ラマヌジャン連分数 $r(\tau)$ の値であることを示すこと。
• これらの $r(\tau)$ 値の最小多項式が、モジュラー関数系の反復結果式の既約因子として得られ、関連する類体を生成することを示すこと。
• 5 と互いに素な導thon $f$ を持つ、このような $K$ 上のすべてのリーマン類体が、固定された 5-進代数的関数の周期的点によって生成されること、および導thon が 5 で割り切れるものについては、前周期的点によって生成されることを確認すること。

提案手法

• 本稿は、曲線 $\mathcal{C}_5$ のモジュラーパラメトライゼーションとして、$q = e^{2\pi i\tau}$ を用い、$r(\tau) = q^{1/5}/(1 + q/(1 + q^2/(1 + \cdots)))$ で定義されるロジャース＝ラマヌジャン連分数 $r(\tau)$ を用いる。
• 点の位数 5 を持つテート標準形 $E_5(b)$ の $j$-不変量を与える有理関数 $j_5(b) = \frac{(1 - 12b + 14b^2 + 12b^3 + b^4)^3}{b^5(1 - 11b - b^2)}$ を構成し、$b$ を $r(\tau)$ 値と関連付ける。
• 判別式 $-d$ に対する類多項式 $H_{-d}$ を用い、$F_d(x) = x^{5h(-d)}(1 - 11x - x^2)^{h(-d)}H_{-d}(j_5(x))$ を用いる。この多項式の根は、$\mathcal{R}_{-d}$ による CM を持つ $b$-値に対応する。
• $F_d(x^5)$ の次数 $4h(-d)$ の既約因子 $p_d(x)$ の根が、$w \in \mathcal{O}_K$ で $\wp_5^2 \mid w$ を満たす $r(w/5)$ および $r(-1/w)$ の共役値であることが示される。
• 5-進代数的関数 $F(z) = \frac{-1 + \sqrt{1 - z^4}}{z^2}$ を 5-進版に一般化し、この関数の周期的点が、$K$ 上のヒルベルト類体およびリーマン類体を生成することを示す。
• 最小多項式 $r(w/5)$ の計算に反復結果式 $\tilde{R}_n(x)$ を用い、$\eta \mapsto \eta - 1/\eta$ の変換を用いて $t_d(x)$ および $u_d(x)$ を導出し、判別式解析を単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 五次ディオファントス方程式 $X^5 + Y^5 = \varepsilon^5(1 - X^5Y^5)$ の解は、$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ のアーベル拡大における、ロジャース＝ラマヌジャン連分数 $r(\tau)$ の CM 点における値によってパラメトライズ可能か？
• RQ2 これらの解の座標は、固定された 5-進代数的関数の周期的点であるか？ そして、それらは対応するヒルベルト類体およびリーマン類体を生成するか？
• RQ3 $K$ の整数環内の $w$ に対して $r(w/5)$ の最小多項式の構造は何か？ また、反復結果式および類体論とどのように関係するか？
• RQ4 モジュラー群 $\Gamma(5)$ およびヘッケ作用素 $\tau_5$ の作用が、$r(w/5)$ 値の周期性およびガロア構造にどのように影響するか？
• RQ5 最小多項式 $p_d(x)$ の判別式および因数分解が、類体生成および、すべてのこのような類体が単一の 5-進関数の周期的点から生じるという予想を検証するために使用可能か？

主な発見

• $d \equiv \pm 1 \pmod{5}$ のとき、$X = r(w/5)$、$Y = r(-1/w)$ は、$d = 4f^2$ かどうかに応じて、$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ 上のアーベル拡大 $\Sigma_5\Omega_f$ または $\Sigma_5\Omega_{5f}$ において、方程式 $\mathcal{C}_5$ の解である。
• 次数 36 の最小多項式 $p_{491}(x)$ は、$\tilde{R}_3(x)$ の既約因子として計算され、判別式 $D = 2^{316}5^{153}7^{16}19^4 23^8 29^{16}191^8 491^{18}$ を持つ。
• 次数 9 の削減多項式 $u_{491}(x)$ は、判別式 $D_1 = 2^{76}7^2 29^4 191^2 491^4$ を持ち、$h(-d) = 9$ かつ $d = 4f^2$ で $f = 2^a$ を満たす唯一の可能な判別式 $d = 491$ を確認する。$d = 491$ は 2 や 29 で割り切れない。
• 値 $\eta = r\left(\frac{3 + \sqrt{-491}}{10}\right)$ は、$p_{491}(x)$ の根として、60 桁以上の精度で確認され、構成の数値的正確性が裏付けられる。
• $\tau_5$ のガロア群作用は位数 6 であり、$\tau_5^3 = \rho$ が位数 2 であることと整合的であり、$\mathfrak{g}(z)$ の下での根の周期は 6 である。
• 多項式 $p_d(x)$ は、自己同型 $U(z) = -1/z$ で不変であり、$p_d(x) = x^{2h(-d)} t_d(x - 1/x)$ と簡約可能である。さらに $t_d(x - 1) = x^{h(-d)} u_d(x + 5/x)$ により、次数 $h(-d)$ の多項式 $u_d(x)$ が得られ、類体生成に適したより小さい判別式を持つ。