[論文レビュー] Solutions of Higher Order Homogeneous Linear Matrix Differential Equations: Singular Case

Grigoris I. Kalogeropoulos, Charalambos P. Kontzalis|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、先行係数行列が特異またはペンシルが正方でない場合の高次同次線形行列微分方程式の特異ケースに対して、マトリクスペンシル法を用いて解を求める手法を開発する。解の存在および一意性の必要十分条件を提示し、最小インデックスを用いて解空間を同定し、初期条件が基本解行列の列空間の外にある場合には解が一意でない可能性があることを、明示的な解形を示す数値例を通じて示している。

ABSTRACT

The main objective of this talk is to develop a matrix pencil approach for the study of an initial value problem of a class of singular linear matrix differential equations whose coefficients are constant matrices. By using matrix pencil theory we study the cases of non square matrices and of square matrices with an identically zero matrix pencil. Furthermore we will give necessary and sufficient conditions for existence and uniqueness of solutions and we will see when the uniqueness of solutions is not valid. Moreover we provide a numerical example.

研究の動機と目的

• 特異マトリクスペンシルを有する高次同次線形行列微分方程式の初期値問題を扱う。
• 係数行列が非正方または行列式が恒等的にゼロであるためにペンシルが特異となる場合を分析する。
• 特異ケースにおける解の存在および一意性の必要十分条件を確立する。
• 一意性が成立しない場合に、最小インデックス（c.m.i. および r.m.i.）を用いて解空間の次元を特徴付ける。
• 解の計算および初期条件の一貫性の評価を可能にする数値フレームワークを提供する。

提案手法

• 状態変数を用いてn次の行列微分方程式を1次系に変換し、$ FY'(t) = GY(t) $ の形に変形する。
• マトリクスペンシル理論を適用し、$ \det(sF - G) \equiv 0 $ または $ F $ が非正方であるような特異ケースにおけるペンシル $ sF - G $ を分析する。
• 構造的不変量（有限および無限の基本的因子、および最小インデックス：c.m.i. および r.m.i.）に基づき、システムを5つの部分系に分解する。
• 正則行列 $ P $ および $ Q $ を用いた厳密同値変換により、$ F $ および $ G $ をクラインカー標準形 $ F_K $ および $ G_K $ に簡約化する。
• 解を $ Y(t) = Q_p e^{J_p(t-t_0)} Z_p(t_0) $ の形で構成する。ここで $ Q_p $ は解空間を張り、$ Z_p(t_0) $ は一貫性のある初期条件から定まる。
• 解の存在を確認するため、$ Y(t_0) \in \text{colspan}(Q_p) $ を満たすかを検証する。この条件を満たさない場合には解が非一意となり、解は $ Y(t) = Q_p e^{J_p t} C $ の形で任意の定数 $ C $ をパラメータとして表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異マトリクスペンシルを有する高次同次線形行列微分方程式が解をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 解はいつ一意的であり、特異ケースにおける解空間の次元はどのように決定されるか？
• RQ3 有限および無限の基本的因子に加え、最小インデックスが解の構造にどのように影響するか？
• RQ4 列最小インデックスおよび行最小インデックスは、解空間を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 与えられた初期条件がシステムと一貫しているかどうかをアルゴリズム的にどのように特定できるか？

主な発見

• 初期条件ベクトル $ Y(t_0) $ が $ Q_p $（有限基本的因子に関連する基本行列）の列空間に含まれる場合に限り、解が存在する。
• 初期条件が $ \text{colspan}(Q_p) $ に属さない場合、無限個の解が存在し、解空間の次元は自由パラメータの数に等しくなる。例2ではその数が2である。
• 初期条件が基本解行列 $ Q_p $ と一貫している場合に限り、解は一意的である。$ Q_p $ は有限基本的因子および最小インデックスによって決定される。
• 例1では、ペンシルに有限基本的因子 $ s-2 $、$ s-1 $ および最小インデックス $ \epsilon_1 = 0 $、$ \epsilon_2 = 2 $ が存在し、無限個の解が得られる。
• 例2では、非正方の $ F $ および $ G $ を有する系において、解空間の次元が2で、定数 $ c_1 $、$ c_2 $ をパラメータとする無限個の解が存在する。
• 解の形 $ Y(t) = Q_p e^{J_p(t-t_0)} Z_p(t_0) $ は、$ Y(t_0) \in \text{colspan}(Q_p) $ の場合にのみ有効である。そうでない場合には解が非一意となり、$ Y(t) = Q_p e^{J_p t} C $（任意の $ C $）の形で表される。