[論文レビュー] Solutions of local and nonlocal equations reduced from the AKNS hierarchy

Kui Chen, Xiao Deng+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 35被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、AKNS階層から導かれる局所的および非局所的方程式の正確な二重ワロンスキー解を導出するための体系的還元手法を提示する。非局所的NLS、KdV、mKdV、およびサイン・ゴルドン方程式の非局所版を含む。ワロンスキー列ベクトルに制約を課すことにより、元のAKNS系の既知の解から非局所方程式のソリトン解を生成する。明示的な例では、逆時刻NLS方程式における対称的二ソリトンダイナミクスが示され、漸近的解析によりソリトン的挙動が確認されている。

ABSTRACT

In the paper possible local and nonlocal reductions of the Ablowitz-Kaup-Newell-Suger (AKNS) hierarchy are collected, including the Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy, modified KdV hierarchy and their nonlocal versions, nonlinear Schrödinger hierarchy and their nonlocal versions, sine-Gordon equation in nonpotential form and its nonlocal forms. A reduction technique for solutions is employed, by which exact solutions in double Wronskian form are obtained for these reduced equations from those double Wronskian solutions of the AKNS hierarchy. As examples of dynamics we illustrate new interaction of two-soliton solutions of the reverse-$t$ nonlinear Schrödinger equation. Although as a single soliton it is always stationary, two solitons travel along completely symmetric trajectories in $\{x,t\}$ plane and their amplitudes are affected by phase parameters. Asymptotic analysis is given as demonstration. The approach and relation described in this paper are systematic and general and can be used to other nonlocal equations.

研究の動機と目的

• AKNS階層から導かれる非局所可積分方程式の正確な解を生成する一般的かつ体系的な手法の開発。
• 二重ワロンスキー解法を非局所還元、特に逆空間、逆時刻、および逆空間時刻対称性に拡張すること。
• 特に非局所NLS方程式における対称的二ソリトン相互作用を含むマルチソリトン解のダイナミクスの実証。
• スペクトルパラメータ変換および制約構造を通じて、局所的および非局所的解の明確な対応関係の確立。
• 本稿で検討された方程式を超える他の非局所方程式へも適用可能な統一的枠組みの提供。

提案手法

• 二重ワロンスキーの基本的二つのベクトルに制約を課すことにより、$ r(x,t) = \mp q^*(-x,t) $ のような非局所関係を強制し、解が非局所方程式を満たすことを保証する。
• この手法は、既知のAKNS階層の二重ワロンスキー解を活用し、可積分性および可解性を保つ制約を適用する。
• サイン・ゴルドン方程式の場合、適切な積分作用素を用いて非局所還元を実装し、負のAKNS階層の双線形形態に変換する。
• スペクトルパラメータの制約を用いて、還元前の後、離散スペクトル分布の関係を確立し、体系的な解の生成を可能にする。
• 漸近的解析によりソリトン的挙動を検証し、位相依存の振幅変調および$\{x,t\}$平面上の対称的軌道を含む。
• スペクトルパラメータにおける変換テクニックを導入し、集束NLS解において$ k_j^* \to -k_j^* $に置き換えることで、逆空間非集束NLS解を実現する。これは形式的対称性の実用的実装を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AKNS階層の二重ワロンスキー解をどのように体系的に還元し、非局所可積分方程式の正確な解を得ることができるか？
• RQ2 ワロンスキー列ベクトルにどのような制約を課すと、$ r(x,t) = \mp q^*(-x,t) $ のような非局所的対称性を満たす解が得られるか？
• RQ3 特に位相パラメータに依存する振幅と軌道の対称性の観点から、逆時刻非局所NLS方程式における二ソリトン相互作用はどのように振る舞うか？
• RQ4 同じ還元フレームワークを用いて、非局所KdV、mKdV、およびサイン・ゴルドン方程式の解を導出できるか？
• RQ5 スペクトルパラメータ変換（例：$k_j^* \to -k_j^*$）は、局所的および非局所的解をどのように結びつけるか？また、これにより文脈における形式的対称性とどのように関係するか？

主な発見

• 非局所NLS、KdV、mKdV、およびサイン・ゴルドン方程式の正確な二重ワロンスキー解が、元のAKNS階層の解に制約を課すことにより成功裏に導出された。
• 逆時刻NLS方程式の二ソリトン解は、$\{x,t\}$平面上で完全に対称的な軌道を示し、個々のソリトンが静止しているにもかかわらず、位相パラメータに依存する振幅変調が観察された。
• 漸近的解析により、二ソリトン相互作用がソリトンの性質を保ち、軌道が直線に近づき、可積分系に予想されるように位相がずれることが確認された。
• スペクトルパラメータにおける変換$ k_j^* \to -k_j^* $は、集束NLS解から非集束NLS解を生成する実用的手段を提供し、形式的対称性の妥当性を裏付けた。
• 本手法は一般的かつ体系的であり、本稿で提示された方程式を超える他の非局所方程式へも適用可能であり、AKNS階層からの解の構成に統一的アプローチを提供する。
• サイン・ゴルドン方程式に関しては、双線形形態における積分作用素を用いた非局所版が導出され、その解は標準的なmKdV方程式と類似したダイナミクスを示した。