[論文レビュー] Solutions of Strominger system from unitary representations of cocompact lattices of SL(2,C)

Indranil Biswas, Avijit Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、SL(2,ℂ) のコ・コンパクト格子の不変単位的表現を活用することで、コンパクトな複素3次元多様体上のストロミンガー系の明示的解を構成する。得られるヘルミート的ベクトル束が安定であり、すべての運動方程式、特に torsion に適合する計量および曲率制約が、SL(2,ℂ) 上の不変微分形式を用いて満たされることを示している。

ABSTRACT

Given an irreducible unitary representation of a cocompact lattice of SL(2,C), we explicitly write down a solution of the Strominger system of equations. These solutions satisfy the equation of motion, and the underlying holomorphic vector bundles are stable.

研究の動機と目的

• トータル・トーショニティを伴うコンパクトな複素3次元多様体上でのストロミンガー系の解を、明示的かつ非摂動的に構成すること。
• 変形や摂動的技法に依存しない、解を生成するための新規な手法を確立すること。
• 得られる正則ベクトル束が、ヘテロティック超弦理論の物理的および幾何的制約を満たしていることを示すこと。
• SL(2,ℂ) のコ・コンパクト格子の表現論とストロミンガー系の解の幾何学的性質との相関関係を調査すること。
• 構築された解が運動方程式およびストロミンガー系のすべての成分、特に異常キャンセレーションおよび超対称性条件を満たしていることを検証すること。

提案手法

• コ・コンパクト格子 Γ ⊂ SL(2,ℂ) の不変単位的表現を用いて、商多様体 M = Γ\SL(2,ℂ) 上の幾何的構造を定義する。
• SL(2,ℂ) 上の右不変1次微分形式を用いて、M 上のヘルミート計量 ω を構成し、左 SU(2)作用に関して不変であるようにする。
• 単位的表現を用いて平坦接続 ∇ を持つ正則ベクトル束 E を定義し、F_A^{2,0} = F_A^{0,2} = 0 が成り立つようにする。
• 右不変微分形式および SU(2) 不変性を用いて、d(‖Ω‖_ω · ω²) = 0 を示し、超対称性条件を満たすことを証明する。
• 表現論的不変性を応用して、積分とチャーン類の消滅を用いてトレーススカラー λ = 0 を示し、R(∇^ω) ∧ ω² = 0 を証明する。
• c₁(TM) = 0 および ∫_M dβ ∧ ω² = 0 を用いて λ = 0 を結論づけ、曲率条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動的または変形的技法に依存せずに、ストロミンガー系の明示的解を構成することは可能か？
• RQ2 SL(2,ℂ) のコ・コンパクト格子の不変単位的表現は、ストロミンガー系を満たす安定な正則ベクトル束を生成するか？
• RQ3 ストロミンガー系における torsion に適合する計量および曲率制約は、SL(2,ℂ) 上の不変形式を用いて満たされるか？
• RQ4 単位的表現から導かれる幾何的構造によって、運動方程式 d(‖Ω‖_ω · ω²) = 0 が満たされるか？
• RQ5 接続 ∇^ω に対して、曲率条件 R(∇^ω) ∧ ω² = 0 が成り立つか？

主な発見

• 構築された解は、異常キャンセレーション条件および超対称性条件 d(‖Ω‖_ω · ω²) = 0 を含め、ストロミンガー系のすべての式を満たしている。
• 単位的表現に関連する正則ベクトル束 E は、モデルの物理的および幾何的整合性が要求するように安定である。
• チェーン接続 ∇^ω の曲率は R(∇^ω) ∧ ω² = 0 を満たしており、これは積分と第1チャーン類の消滅を用いてトレーススカラー λ = 0 を示すことで証明された。
• 形式 ‖Ω‖_ω · ω² は ω² の定数倍であるため、d(‖Ω‖_ω · ω²) = 0 が成り立ち、超対称性条件が満たされている。
• 解は変形や摂動的技法を避けて、群論的データ（コ・コンパクト格子の単位的表現）から明示的に構成されている。
• 接続 ∇ が平坦であるため、曲率成分 F_A^{2,0} および F_A^{0,2} は恒等的に消え、ヤン・ミルズ条件が満たされている。